Cálculo Ejemplos

$x^{5} + 32 y^{3} = \ln (y)$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (x^{5} + 32 y^{3}) = \frac{d}{d x} (\ln (y))$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{5} + 32 y^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [32 y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [32 y^{3}]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [32 y^{3}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [32 y^{3}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $32$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $32 y^{3}$ con respecto a $x$ es $32 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$5 x^{4} + 32 \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$5 x^{4} + 32 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$5 x^{4} + 32 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$5 x^{4} + 32 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$5 x^{4} + 32 (3 y^{2} y')$

Paso 2.2.4

Multiplica $3$ por $32$ .

$5 x^{4} + 96 y^{2} y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = y$ .

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Paso 3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.1.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{1}{y} y'$

Paso 3.3

Combina $\frac{1}{y}$ y $y'$ .

$\frac{y'}{y}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$5 x^{4} + 96 y^{2} y' = \frac{y'}{y}$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Multiplica ambos lados por $y$ .

$(5 x^{4} + 96 y^{2} y') y = \frac{y'}{y} y$

Paso 5.2

Simplifica.

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Paso 5.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1.1

Simplifica $(5 x^{4} + 96 y^{2} y') y$ .

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Paso 5.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$5 x^{4} y + 96 y^{2} y' y = \frac{y'}{y} y$

Paso 5.2.1.1.2

Multiplica $y^{2}$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 5.2.1.1.2.1

Mueve $y$ .

$5 x^{4} y + 96 (y \cdot y^{2}) y' = \frac{y'}{y} y$

Paso 5.2.1.1.2.2

Multiplica $y$ por $y^{2}$ .

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Paso 5.2.1.1.2.2.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$5 x^{4} y + 96 (y^{1} y^{2}) y' = \frac{y'}{y} y$

Paso 5.2.1.1.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$5 x^{4} y + 96 y^{1 + 2} y' = \frac{y'}{y} y$

Paso 5.2.1.1.2.3

Suma $1$ y $2$ .

$5 x^{4} y + 96 y^{3} y' = \frac{y'}{y} y$

Paso 5.2.1.1.3

Mueve $y^{3}$ .

$5 x^{4} y + 96 y' y^{3} = \frac{y'}{y} y$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.2.1

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$5 x^{4} y + 96 y' y^{3} = \frac{y'}{y} y$

Paso 5.2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$5 x^{4} y + 96 y' y^{3} = y'$

Paso 5.3

Resuelve $y'$

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Paso 5.3.1

Resta $y'$ de ambos lados de la ecuación.

$5 x^{4} y + 96 y' y^{3} - y' = 0$

Paso 5.3.2

Resta $5 x^{4} y$ de ambos lados de la ecuación.

$96 y' y^{3} - y' = - 5 x^{4} y$

Paso 5.3.3

Factoriza $y'$ de $96 y' y^{3} - y'$ .

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Paso 5.3.3.1

Factoriza $y'$ de $96 y' y^{3}$ .

$y' (96 y^{3}) - y' = - 5 x^{4} y$

Paso 5.3.3.2

Factoriza $y'$ de $- y'$ .

$y' (96 y^{3}) + y' \cdot - 1 = - 5 x^{4} y$

Paso 5.3.3.3

Factoriza $y'$ de $y' (96 y^{3}) + y' \cdot - 1$ .

$y' (96 y^{3} - 1) = - 5 x^{4} y$

Paso 5.3.4

Divide cada término en $y' (96 y^{3} - 1) = - 5 x^{4} y$ por $96 y^{3} - 1$ y simplifica.

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Paso 5.3.4.1

Divide cada término en $y' (96 y^{3} - 1) = - 5 x^{4} y$ por $96 y^{3} - 1$ .

$\frac{y' (96 y^{3} - 1)}{96 y^{3} - 1} = \frac{- 5 x^{4} y}{96 y^{3} - 1}$

Paso 5.3.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.4.2.1

Cancela el factor común de $96 y^{3} - 1$ .

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Paso 5.3.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (96 y^{3} - 1)}{96 y^{3} - 1} = \frac{- 5 x^{4} y}{96 y^{3} - 1}$

Paso 5.3.4.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 5 x^{4} y}{96 y^{3} - 1}$

Paso 5.3.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.4.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{5 x^{4} y}{96 y^{3} - 1}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{5 x^{4} y}{96 y^{3} - 1}$