Cálculo Ejemplos

$e^{x - y} = \ln (x - y)$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (e^{x - y}) = \frac{d}{d x} (\ln (x - y))$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = x - y$ .

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Paso 2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x - y$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x - y]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x - y]$

Paso 2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - y$ .

$e^{x - y} \frac{d}{d x} [x - y]$

Paso 2.2

Diferencia.

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Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$e^{x - y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y])$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{x - y} (1 + \frac{d}{d x} [- y])$

Paso 2.2.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- y$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$e^{x - y} (1 - \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$e^{x - y} (1 - y')$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x - y$ .

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Paso 3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x - y$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x - y]$

Paso 3.1.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x - y]$

Paso 3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - y$ .

$\frac{1}{x - y} \frac{d}{d x} [x - y]$

Paso 3.2

Diferencia.

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Paso 3.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{1}{x - y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y])$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{x - y} (1 + \frac{d}{d x} [- y])$

Paso 3.2.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- y$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{1}{x - y} (1 - \frac{d}{d x} [y])$

Paso 3.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{1}{x - y} (1 - y')$

Paso 3.4

Simplifica.

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Paso 3.4.1

Reordena los factores de $\frac{1}{x - y} (1 - y')$ .

$(1 - y') \frac{1}{x - y}$

Paso 3.4.2

Multiplica $1 - y'$ por $\frac{1}{x - y}$ .

$\frac{1 - y'}{x - y}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$e^{x - y} (1 - y') = \frac{1 - y'}{x - y}$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Multiplica ambos lados por $x - y$ .

$e^{x - y} (1 - y') (x - y) = \frac{1 - y'}{x - y} (x - y)$

Paso 5.2

Simplifica.

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Paso 5.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1.1

Simplifica $e^{x - y} (1 - y') (x - y)$ .

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Paso 5.2.1.1.1

Simplifica mediante la multiplicación.

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Paso 5.2.1.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(e^{x - y} \cdot 1 + e^{x - y} (- y')) (x - y) = \frac{1 - y'}{x - y} (x - y)$

Paso 5.2.1.1.1.2

Simplifica la expresión.

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Paso 5.2.1.1.1.2.1

Multiplica $e^{x - y}$ por $1$ .

$(e^{x - y} + e^{x - y} (- y')) (x - y) = \frac{1 - y'}{x - y} (x - y)$

Paso 5.2.1.1.1.2.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$(e^{x - y} - e^{x - y} y') (x - y) = \frac{1 - y'}{x - y} (x - y)$

Paso 5.2.1.1.2

Expande $(e^{x - y} - e^{x - y} y') (x - y)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.2.1.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{x - y} (x - y) - e^{x - y} y' (x - y) = \frac{1 - y'}{x - y} (x - y)$

Paso 5.2.1.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{x - y} x + e^{x - y} (- y) - e^{x - y} y' (x - y) = \frac{1 - y'}{x - y} (x - y)$

Paso 5.2.1.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{x - y} x + e^{x - y} (- y) - e^{x - y} y' x - e^{x - y} y' (- y) = \frac{1 - y'}{x - y} (x - y)$

Paso 5.2.1.1.3

Simplifica los términos.

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Paso 5.2.1.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{x - y} x - e^{x - y} y - e^{x - y} y' x - e^{x - y} y' (- y) = \frac{1 - y'}{x - y} (x - y)$

Paso 5.2.1.1.3.1.2

Multiplica $- e^{x - y} y' (- y)$ .

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Paso 5.2.1.1.3.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$e^{x - y} x - e^{x - y} y - e^{x - y} y' x + 1 e^{x - y} y' y = \frac{1 - y'}{x - y} (x - y)$

Paso 5.2.1.1.3.1.2.2

Multiplica $e^{x - y}$ por $1$ .

$e^{x - y} x - e^{x - y} y - e^{x - y} y' x + e^{x - y} y' y = \frac{1 - y'}{x - y} (x - y)$

Paso 5.2.1.1.3.2

Simplifica la expresión.

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Paso 5.2.1.1.3.2.1

Reordena los factores en $e^{x - y} x - e^{x - y} y - e^{x - y} y' x + e^{x - y} y' y$ .

$x e^{x - y} - y e^{x - y} - y' x e^{x - y} + y' y e^{x - y} = \frac{1 - y'}{x - y} (x - y)$

Paso 5.2.1.1.3.2.2

Mueve $- y e^{x - y}$ .

$x e^{x - y} - y' x e^{x - y} + y' y e^{x - y} - y e^{x - y} = \frac{1 - y'}{x - y} (x - y)$

Paso 5.2.1.1.3.2.3

Mueve $x e^{x - y}$ .

$- y' x e^{x - y} + y' y e^{x - y} + x e^{x - y} - y e^{x - y} = \frac{1 - y'}{x - y} (x - y)$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.2.1

Simplifica $\frac{1 - y'}{x - y} (x - y)$ .

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Paso 5.2.2.1.1

Cancela el factor común de $x - y$ .

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Paso 5.2.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$- y' x e^{x - y} + y' y e^{x - y} + x e^{x - y} - y e^{x - y} = \frac{1 - y'}{x - y} (x - y)$

Paso 5.2.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$- y' x e^{x - y} + y' y e^{x - y} + x e^{x - y} - y e^{x - y} = 1 - y'$

Paso 5.2.2.1.2

Reordena $1$ y $- y'$ .

$- y' x e^{x - y} + y' y e^{x - y} + x e^{x - y} - y e^{x - y} = - y' + 1$

Paso 5.3

Resuelve $y'$

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Paso 5.3.1

Suma $y'$ a ambos lados de la ecuación.

$- y' x e^{x - y} + y' y e^{x - y} + x e^{x - y} - y e^{x - y} + y' = 1$

Paso 5.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.3.2.1

Resta $x e^{x - y}$ de ambos lados de la ecuación.

$- y' x e^{x - y} + y' y e^{x - y} - y e^{x - y} + y' = 1 - x e^{x - y}$

Paso 5.3.2.2

Suma $y e^{x - y}$ a ambos lados de la ecuación.

$- y' x e^{x - y} + y' y e^{x - y} + y' = 1 - x e^{x - y} + y e^{x - y}$

Paso 5.3.3

Factoriza $y'$ de $- y' x e^{x - y} + y' y e^{x - y} + y'$ .

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Paso 5.3.3.1

Factoriza $y'$ de $- y' x e^{x - y}$ .

$y' (- 1 x e^{x - y}) + y' (y) e^{x - y} + y' = 1 - x e^{x - y} + y e^{x - y}$

Paso 5.3.3.2

Factoriza $y'$ de $y' y e^{x - y}$ .

$y' (- 1 x e^{x - y}) + y' (y e^{x - y}) + y' = 1 - x e^{x - y} + y e^{x - y}$

Paso 5.3.3.3

Eleva $y'$ a la potencia de $1$ .

$y' (- 1 x e^{x - y}) + y' (y e^{x - y}) + y' = 1 - x e^{x - y} + y e^{x - y}$

Paso 5.3.3.4

Factoriza $y'$ de ${y'}^{1}$ .

$y' (- 1 x e^{x - y}) + y' (y e^{x - y}) + y' \cdot 1 = 1 - x e^{x - y} + y e^{x - y}$

Paso 5.3.3.5

Factoriza $y'$ de $y' (- 1 x e^{x - y}) + y' (y e^{x - y})$ .

$y' (- 1 x e^{x - y} + y e^{x - y}) + y' \cdot 1 = 1 - x e^{x - y} + y e^{x - y}$

Paso 5.3.3.6

Factoriza $y'$ de $y' (- 1 x e^{x - y} + y e^{x - y}) + y' \cdot 1$ .

$y' (- 1 x e^{x - y} + y e^{x - y} + 1) = 1 - x e^{x - y} + y e^{x - y}$

Paso 5.3.4

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$y' (- x e^{x - y} + y e^{x - y} + 1) = 1 - x e^{x - y} + y e^{x - y}$

Paso 5.3.5

Divide cada término en $y' (- x e^{x - y} + y e^{x - y} + 1) = 1 - x e^{x - y} + y e^{x - y}$ por $- x e^{x - y} + y e^{x - y} + 1$ y simplifica.

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Paso 5.3.5.1

Divide cada término en $y' (- x e^{x - y} + y e^{x - y} + 1) = 1 - x e^{x - y} + y e^{x - y}$ por $- x e^{x - y} + y e^{x - y} + 1$ .

$\frac{y' (- x e^{x - y} + y e^{x - y} + 1)}{- x e^{x - y} + y e^{x - y} + 1} = \frac{1}{- x e^{x - y} + y e^{x - y} + 1} + \frac{- x e^{x - y}}{- x e^{x - y} + y e^{x - y} + 1} + \frac{y e^{x - y}}{- x e^{x - y} + y e^{x - y} + 1}$

Paso 5.3.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.5.2.1

Cancela el factor común de $- x e^{x - y} + y e^{x - y} + 1$ .

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Paso 5.3.5.2.1.1

Cancela el factor común.

Paso 5.3.5.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{1}{- x e^{x - y} + y e^{x - y} + 1} + \frac{- x e^{x - y}}{- x e^{x - y} + y e^{x - y} + 1} + \frac{y e^{x - y}}{- x e^{x - y} + y e^{x - y} + 1}$

Paso 5.3.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.5.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = \frac{1}{- x e^{x - y} + y e^{x - y} + 1} - \frac{x e^{x - y}}{- x e^{x - y} + y e^{x - y} + 1} + \frac{y e^{x - y}}{- x e^{x - y} + y e^{x - y} + 1}$

Paso 5.3.5.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{1 - x e^{x - y}}{- x e^{x - y} + y e^{x - y} + 1} + \frac{y e^{x - y}}{- x e^{x - y} + y e^{x - y} + 1}$

Paso 5.3.5.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{1 - x e^{x - y} + y e^{x - y}}{- x e^{x - y} + y e^{x - y} + 1}$

Paso 5.3.5.3.4

Factoriza $- 1$ de $- x e^{x - y}$ .

$y' = \frac{1 - x e^{x - y} + y e^{x - y}}{- (x e^{x - y}) + y e^{x - y} + 1}$

Paso 5.3.5.3.5

Factoriza $- 1$ de $y e^{x - y}$ .

$y' = \frac{1 - x e^{x - y} + y e^{x - y}}{- (x e^{x - y}) - (- y e^{x - y}) + 1}$

Paso 5.3.5.3.6

Factoriza $- 1$ de $- (x e^{x - y}) - (- y e^{x - y})$ .

$y' = \frac{1 - x e^{x - y} + y e^{x - y}}{- (x e^{x - y} - y e^{x - y}) + 1}$

Paso 5.3.5.3.7

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{1 - x e^{x - y} + y e^{x - y}}{- (x e^{x - y} - y e^{x - y}) - 1 (- 1)}$

Paso 5.3.5.3.8

Factoriza $- 1$ de $- (x e^{x - y} - y e^{x - y}) - 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{1 - x e^{x - y} + y e^{x - y}}{- (x e^{x - y} - y e^{x - y} - 1)}$

Paso 5.3.5.3.9

Reescribe los negativos.

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Paso 5.3.5.3.9.1

Reescribe $- (x e^{x - y} - y e^{x - y} - 1)$ como $- 1 (x e^{x - y} - y e^{x - y} - 1)$ .

$y' = \frac{1 - x e^{x - y} + y e^{x - y}}{- 1 (x e^{x - y} - y e^{x - y} - 1)}$

Paso 5.3.5.3.9.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{1 - x e^{x - y} + y e^{x - y}}{x e^{x - y} - y e^{x - y} - 1}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1 - x e^{x - y} + y e^{x - y}}{x e^{x - y} - y e^{x - y} - 1}$