Cálculo Ejemplos

$2 x^{2} + 6 \ln (x y) = 15$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (2 x^{2} + 6 \ln (x y)) = \frac{d}{d x} (15)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x^{2} + 6 \ln (x y)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 \ln (x y)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 \ln (x y)]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{2}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 \ln (x y)]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [6 \ln (x y)]$

Paso 2.2.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [6 \ln (x y)]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [6 \ln (x y)]$ .

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Paso 2.3.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 \ln (x y)$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [\ln (x y)]$ .

$4 x + 6 \frac{d}{d x} [\ln (x y)]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x y$ .

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Paso 2.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x y$ .

$4 x + 6 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x y])$

Paso 2.3.2.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$4 x + 6 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x y])$

Paso 2.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x y$ .

$4 x + 6 (\frac{1}{x y} \frac{d}{d x} [x y])$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y$ .

$4 x + 6 (\frac{1}{x y} (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 2.3.4

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$4 x + 6 (\frac{1}{x y} (x y' + y \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 2.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 x + 6 (\frac{1}{x y} (x y' + y \cdot 1))$

Paso 2.3.6

Multiplica $y$ por $1$ .

$4 x + 6 (\frac{1}{x y} (x y' + y))$

Paso 2.3.7

Combina $\frac{1}{x y}$ y $6$ .

$4 x + \frac{6}{x y} (x y' + y)$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$4 x + \frac{6}{x y} (x y') + \frac{6}{x y} y$

Paso 2.4.2

Combina los términos.

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Paso 2.4.2.1

Combina $x$ y $\frac{6}{x y}$ .

$4 x + \frac{x \cdot 6}{x y} y' + \frac{6}{x y} y$

Paso 2.4.2.2

Combina $\frac{x \cdot 6}{x y}$ y $y'$ .

$4 x + \frac{x \cdot 6 y'}{x y} + \frac{6}{x y} y$

Paso 2.4.2.3

Mueve $6$ a la izquierda de $x$ .

$4 x + \frac{6 \cdot x y'}{x y} + \frac{6}{x y} y$

Paso 2.4.2.4

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 2.4.2.4.1

Cancela el factor común.

$4 x + \frac{6 x y'}{x y} + \frac{6}{x y} y$

Paso 2.4.2.4.2

Reescribe la expresión.

$4 x + \frac{6 y'}{y} + \frac{6}{x y} y$

Paso 2.4.2.5

Combina $\frac{6}{x y}$ y $y$ .

$4 x + \frac{6 y'}{y} + \frac{6 y}{x y}$

Paso 2.4.2.6

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 2.4.2.6.1

Cancela el factor común.

$4 x + \frac{6 y'}{y} + \frac{6 y}{x y}$

Paso 2.4.2.6.2

Reescribe la expresión.

$4 x + \frac{6 y'}{y} + \frac{6}{x}$

Paso 3

Como $15$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $15$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$4 x + \frac{6 y'}{y} + \frac{6}{x} = 0$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Mueve todos los términos que no contengan $y'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.1.1

Resta $4 x$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{6 y'}{y} + \frac{6}{x} = - 4 x$

Paso 5.1.2

Resta $\frac{6}{x}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{6 y'}{y} = - 4 x - \frac{6}{x}$

Paso 5.2

Multiplica ambos lados por $y$ .

$\frac{6 y'}{y} y = (- 4 x - \frac{6}{x}) y$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.1.1

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 5.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{6 y'}{y} y = (- 4 x - \frac{6}{x}) y$

Paso 5.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$6 y' = (- 4 x - \frac{6}{x}) y$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.2.1

Simplifica $(- 4 x - \frac{6}{x}) y$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Simplifica los términos.

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Paso 5.3.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$6 y' = - 4 x y - \frac{6}{x} y$

Paso 5.3.2.1.1.2

Combina $y$ y $\frac{6}{x}$ .

$6 y' = - 4 x y - \frac{y \cdot 6}{x}$

Paso 5.3.2.1.2

Mueve $6$ a la izquierda de $y$ .

$6 y' = - 4 x y - \frac{6 y}{x}$

Paso 5.4

Divide cada término en $6 y' = - 4 x y - \frac{6 y}{x}$ por $6$ y simplifica.

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Paso 5.4.1

Divide cada término en $6 y' = - 4 x y - \frac{6 y}{x}$ por $6$ .

$\frac{6 y'}{6} = \frac{- 4 x y}{6} + \frac{- \frac{6 y}{x}}{6}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.2.1

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{6 y'}{6} = \frac{- 4 x y}{6} + \frac{- \frac{6 y}{x}}{6}$

Paso 5.4.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 4 x y}{6} + \frac{- \frac{6 y}{x}}{6}$

Paso 5.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.4.3.1.1

Cancela el factor común de $- 4$ y $6$ .

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Paso 5.4.3.1.1.1

Factoriza $2$ de $- 4 x y$ .

$y' = \frac{2 (- 2 x y)}{6} + \frac{- \frac{6 y}{x}}{6}$

Paso 5.4.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.4.3.1.1.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$y' = \frac{2 (- 2 x y)}{2 (3)} + \frac{- \frac{6 y}{x}}{6}$

Paso 5.4.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$y' = \frac{2 (- 2 x y)}{2 \cdot 3} + \frac{- \frac{6 y}{x}}{6}$

Paso 5.4.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{- 2 x y}{3} + \frac{- \frac{6 y}{x}}{6}$

Paso 5.4.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{2 x y}{3} + \frac{- \frac{6 y}{x}}{6}$

Paso 5.4.3.1.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$y' = - \frac{2 x y}{3} - \frac{6 y}{x} \cdot \frac{1}{6}$

Paso 5.4.3.1.4

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 5.4.3.1.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{6 y}{x}$ al numerador.

$y' = - \frac{2 x y}{3} + \frac{- 6 y}{x} \cdot \frac{1}{6}$

Paso 5.4.3.1.4.2

Factoriza $6$ de $- 6 y$ .

$y' = - \frac{2 x y}{3} + \frac{6 (- y)}{x} \cdot \frac{1}{6}$

Paso 5.4.3.1.4.3

Cancela el factor común.

$y' = - \frac{2 x y}{3} + \frac{6 (- y)}{x} \cdot \frac{1}{6}$

Paso 5.4.3.1.4.4

Reescribe la expresión.

$y' = - \frac{2 x y}{3} + \frac{- y}{x}$

Paso 5.4.3.1.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{2 x y}{3} - \frac{y}{x}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y}{3} - \frac{y}{x}$