Cálculo Ejemplos

$y = \frac{2 u}{1 - 4 u}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d u} (y) = \frac{d}{d u} (\frac{2 u}{1 - 4 u})$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $u$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Como $2$ es constante con respecto a $u$ , la derivada de $\frac{2 u}{1 - 4 u}$ con respecto a $u$ es $2 \frac{d}{d u} [\frac{u}{1 - 4 u}]$ .

$2 \frac{d}{d u} [\frac{u}{1 - 4 u}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d u} [\frac{f (u)}{g (u)}]$ es $\frac{g (u) \frac{d}{d u} [f (u)] - f (u) \frac{d}{d u} [g (u)]}{{g (u)}^{2}}$ donde $f (u) = u$ y $g (u) = 1 - 4 u$ .

$2 \frac{(1 - 4 u) \frac{d}{d u} [u] - u \frac{d}{d u} [1 - 4 u]}{{(1 - 4 u)}^{2}}$

Paso 3.3

Diferencia.

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Paso 3.3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \frac{(1 - 4 u) \cdot 1 - u \frac{d}{d u} [1 - 4 u]}{{(1 - 4 u)}^{2}}$

Paso 3.3.2

Multiplica $1 - 4 u$ por $1$ .

$2 \frac{1 - 4 u - u \frac{d}{d u} [1 - 4 u]}{{(1 - 4 u)}^{2}}$

Paso 3.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - 4 u$ con respecto a $u$ es $\frac{d}{d u} [1] + \frac{d}{d u} [- 4 u]$ .

$2 \frac{1 - 4 u - u (\frac{d}{d u} [1] + \frac{d}{d u} [- 4 u])}{{(1 - 4 u)}^{2}}$

Paso 3.3.4

Como $1$ es constante con respecto a $u$ , la derivada de $1$ con respecto a $u$ es $0$ .

$2 \frac{1 - 4 u - u (0 + \frac{d}{d u} [- 4 u])}{{(1 - 4 u)}^{2}}$

Paso 3.3.5

Suma $0$ y $\frac{d}{d u} [- 4 u]$ .

$2 \frac{1 - 4 u - u \frac{d}{d u} [- 4 u]}{{(1 - 4 u)}^{2}}$

Paso 3.3.6

Como $- 4$ es constante con respecto a $u$ , la derivada de $- 4 u$ con respecto a $u$ es $- 4 \frac{d}{d u} [u]$ .

$2 \frac{1 - 4 u - u (- 4 \frac{d}{d u} [u])}{{(1 - 4 u)}^{2}}$

Paso 3.3.7

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$2 \frac{1 - 4 u + 4 u \frac{d}{d u} [u]}{{(1 - 4 u)}^{2}}$

Paso 3.3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \frac{1 - 4 u + 4 u \cdot 1}{{(1 - 4 u)}^{2}}$

Paso 3.3.9

Simplifica los términos.

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Paso 3.3.9.1

Multiplica $4$ por $1$ .

$2 \frac{1 - 4 u + 4 u}{{(1 - 4 u)}^{2}}$

Paso 3.3.9.2

Suma $- 4 u$ y $4 u$ .

$2 \frac{1 + 0}{{(1 - 4 u)}^{2}}$

Paso 3.3.9.3

Suma $1$ y $0$ .

$2 \frac{1}{{(1 - 4 u)}^{2}}$

Paso 3.3.9.4

Combina $2$ y $\frac{1}{{(1 - 4 u)}^{2}}$ .

$\frac{2}{{(1 - 4 u)}^{2}}$

Paso 3.3.9.5

Reordena los términos.

$\frac{2}{{(- 4 u + 1)}^{2}}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = \frac{2}{{(- 4 u + 1)}^{2}}$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d u}$ .

$\frac{d y}{d u} = \frac{2}{{(- 4 u + 1)}^{2}}$