Cálculo Ejemplos

$y = arccsc (e^{5 t})$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (arccsc (e^{5 t}))$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $t$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = arccsc (t)$ y $g (t) = e^{5 t}$ .

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Paso 3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $e^{5 t}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [arccsc (u_{1})] \frac{d}{d t} [e^{5 t}]$

Paso 3.1.2

La derivada de $arccsc (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $- \frac{1}{u_{1} \sqrt{{u_{1}}^{2} - 1}}$ .

$- \frac{1}{u_{1} \sqrt{{u_{1}}^{2} - 1}} \frac{d}{d t} [e^{5 t}]$

Paso 3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $e^{5 t}$ .

$- \frac{1}{e^{5 t} \sqrt{{(e^{5 t})}^{2} - 1}} \frac{d}{d t} [e^{5 t}]$

Paso 3.2

Multiplica los exponentes en ${(e^{5 t})}^{2}$ .

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Paso 3.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{e^{5 t} \sqrt{e^{5 t \cdot 2} - 1}} \frac{d}{d t} [e^{5 t}]$

Paso 3.2.2

Multiplica $2$ por $5$ .

$- \frac{1}{e^{5 t} \sqrt{e^{10 t} - 1}} \frac{d}{d t} [e^{5 t}]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = e^{t}$ y $g (t) = 5 t$ .

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Paso 3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $5 t$ .

$- \frac{1}{e^{5 t} \sqrt{e^{10 t} - 1}} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [5 t])$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ es $a^{u_{2}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$- \frac{1}{e^{5 t} \sqrt{e^{10 t} - 1}} (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [5 t])$

Paso 3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $5 t$ .

$- \frac{1}{e^{5 t} \sqrt{e^{10 t} - 1}} (e^{5 t} \frac{d}{d t} [5 t])$

Paso 3.4

Diferencia.

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Paso 3.4.1

Combina $e^{5 t}$ y $\frac{1}{e^{5 t} \sqrt{e^{10 t} - 1}}$ .

$- \frac{e^{5 t}}{e^{5 t} \sqrt{e^{10 t} - 1}} \frac{d}{d t} [5 t]$

Paso 3.4.2

Cancela el factor común de $e^{5 t}$ .

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Paso 3.4.2.1

Cancela el factor común.

$- \frac{e^{5 t}}{e^{5 t} \sqrt{e^{10 t} - 1}} \frac{d}{d t} [5 t]$

Paso 3.4.2.2

Reescribe la expresión.

$- \frac{1}{\sqrt{e^{10 t} - 1}} \frac{d}{d t} [5 t]$

Paso 3.4.3

Como $5$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $5 t$ con respecto a $t$ es $5 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \frac{1}{\sqrt{e^{10 t} - 1}} (5 \frac{d}{d t} [t])$

Paso 3.4.4

Combina fracciones.

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Paso 3.4.4.1

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$- 5 \frac{1}{\sqrt{e^{10 t} - 1}} \frac{d}{d t} [t]$

Paso 3.4.4.2

Combina $- 5$ y $\frac{1}{\sqrt{e^{10 t} - 1}}$ .

$\frac{- 5}{\sqrt{e^{10 t} - 1}} \frac{d}{d t} [t]$

Paso 3.4.4.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{5}{\sqrt{e^{10 t} - 1}} \frac{d}{d t} [t]$

Paso 3.4.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \frac{5}{\sqrt{e^{10 t} - 1}} \cdot 1$

Paso 3.4.6

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \frac{5}{\sqrt{e^{10 t} - 1}}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = - \frac{5}{\sqrt{e^{10 t} - 1}}$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{d y}{d t} = - \frac{5}{\sqrt{e^{10 t} - 1}}$