Cálculo Ejemplos

$4 = 3 x + 5 x y^{2}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (4) = \frac{d}{d x} (3 x + 5 x y^{2})$

Paso 2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x + 5 x y^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5 x y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5 x y^{2}]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Paso 3.2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5 x y^{2}]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5 x y^{2}]$

Paso 3.2.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [5 x y^{2}]$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 x y^{2}]$ .

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Paso 3.3.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x y^{2}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

$3 + 5 \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y^{2}$ .

$3 + 5 (x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 3.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$3 + 5 (x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 + 5 (x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$3 + 5 (x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.3.4

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 + 5 (x (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 + 5 (x (2 y y') + y^{2} \cdot 1)$

Paso 3.3.6

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$3 + 5 (2 \cdot x y y' + y^{2} \cdot 1)$

Paso 3.3.7

Multiplica $y^{2}$ por $1$ .

$3 + 5 (2 x y y' + y^{2})$

Paso 3.4

Simplifica.

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Paso 3.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 + 5 (2 x y y') + 5 y^{2}$

Paso 3.4.2

Multiplica $2$ por $5$ .

$3 + 10 x y y' + 5 y^{2}$

Paso 3.4.3

Reordena los términos.

$5 y^{2} + 10 x y y' + 3$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$0 = 5 y^{2} + 10 x y y' + 3$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Reescribe la ecuación como $5 y^{2} + 10 x y y' + 3 = 0$ .

$5 y^{2} + 10 x y y' + 3 = 0$

Paso 5.2

Mueve todos los términos que no contengan $y'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.2.1

Resta $5 y^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$10 x y y' + 3 = - 5 y^{2}$

Paso 5.2.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$10 x y y' = - 5 y^{2} - 3$

Paso 5.3

Divide cada término en $10 x y y' = - 5 y^{2} - 3$ por $10 x y$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $10 x y y' = - 5 y^{2} - 3$ por $10 x y$ .

$\frac{10 x y y'}{10 x y} = \frac{- 5 y^{2}}{10 x y} + \frac{- 3}{10 x y}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $10$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{10 x y y'}{10 x y} = \frac{- 5 y^{2}}{10 x y} + \frac{- 3}{10 x y}$

Paso 5.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x y y'}{x y} = \frac{- 5 y^{2}}{10 x y} + \frac{- 3}{10 x y}$

Paso 5.3.2.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 5.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x y y'}{x y} = \frac{- 5 y^{2}}{10 x y} + \frac{- 3}{10 x y}$

Paso 5.3.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 5 y^{2}}{10 x y} + \frac{- 3}{10 x y}$

Paso 5.3.2.3

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 5.3.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 5 y^{2}}{10 x y} + \frac{- 3}{10 x y}$

Paso 5.3.2.3.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 5 y^{2}}{10 x y} + \frac{- 3}{10 x y}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.1.1

Cancela el factor común de $- 5$ y $10$ .

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Paso 5.3.3.1.1.1

Factoriza $5$ de $- 5 y^{2}$ .

$y' = \frac{5 (- y^{2})}{10 x y} + \frac{- 3}{10 x y}$

Paso 5.3.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.3.1.1.2.1

Factoriza $5$ de $10 x y$ .

$y' = \frac{5 (- y^{2})}{5 (2 x y)} + \frac{- 3}{10 x y}$

Paso 5.3.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$y' = \frac{5 (- y^{2})}{5 (2 x y)} + \frac{- 3}{10 x y}$

Paso 5.3.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{- y^{2}}{2 x y} + \frac{- 3}{10 x y}$

Paso 5.3.3.1.2

Cancela el factor común de $y^{2}$ y $y$ .

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Paso 5.3.3.1.2.1

Factoriza $y$ de $- y^{2}$ .

$y' = \frac{y (- y)}{2 x y} + \frac{- 3}{10 x y}$

Paso 5.3.3.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.3.1.2.2.1

Factoriza $y$ de $2 x y$ .

$y' = \frac{y (- y)}{y (2 x)} + \frac{- 3}{10 x y}$

Paso 5.3.3.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$y' = \frac{y (- y)}{y (2 x)} + \frac{- 3}{10 x y}$

Paso 5.3.3.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{- y}{2 x} + \frac{- 3}{10 x y}$

Paso 5.3.3.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{y}{2 x} + \frac{- 3}{10 x y}$

Paso 5.3.3.1.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{y}{2 x} - \frac{3}{10 x y}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{2 x} - \frac{3}{10 x y}$