Cálculo Ejemplos

$4 x^{3} + \ln (y^{2}) + 2 y = 2 x$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (4 x^{3} + \ln (y^{2}) + 2 y) = \frac{d}{d x} (2 x)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x^{3} + \ln (y^{2}) + 2 y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\ln (y^{2})] + \frac{d}{d x} [2 y]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\ln (y^{2})] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{3}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\ln (y^{2})] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [\ln (y^{2})] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Paso 2.2.3

Multiplica $3$ por $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [\ln (y^{2})] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\ln (y^{2})]$ .

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Paso 2.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = y^{2}$ .

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Paso 2.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $y^{2}$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Paso 2.3.1.2

La derivada de $\ln (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{u_{1}}$ .

$12 x^{2} + \frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Paso 2.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $y^{2}$ .

$12 x^{2} + \frac{1}{y^{2}} \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $y$ .

$12 x^{2} + \frac{1}{y^{2}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [2 y]$

Paso 2.3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$12 x^{2} + \frac{1}{y^{2}} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [2 y]$

Paso 2.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $y$ .

$12 x^{2} + \frac{1}{y^{2}} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [2 y]$

Paso 2.3.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$12 x^{2} + \frac{1}{y^{2}} (2 y y') + \frac{d}{d x} [2 y]$

Paso 2.3.4

Combina $2$ y $\frac{1}{y^{2}}$ .

$12 x^{2} + \frac{2}{y^{2}} (y y') + \frac{d}{d x} [2 y]$

Paso 2.3.5

Combina $y$ y $\frac{2}{y^{2}}$ .

$12 x^{2} + \frac{y \cdot 2}{y^{2}} y' + \frac{d}{d x} [2 y]$

Paso 2.3.6

Combina $\frac{y \cdot 2}{y^{2}}$ y $y'$ .

$12 x^{2} + \frac{y \cdot 2 y'}{y^{2}} + \frac{d}{d x} [2 y]$

Paso 2.3.7

Mueve $2$ a la izquierda de $y$ .

$12 x^{2} + \frac{2 \cdot y y'}{y^{2}} + \frac{d}{d x} [2 y]$

Paso 2.3.8

Cancela el factor común de $y$ y $y^{2}$ .

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Paso 2.3.8.1

Factoriza $y$ de $2 y y'$ .

$12 x^{2} + \frac{y (2 y')}{y^{2}} + \frac{d}{d x} [2 y]$

Paso 2.3.8.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.8.2.1

Factoriza $y$ de $y^{2}$ .

$12 x^{2} + \frac{y (2 y')}{y \cdot y} + \frac{d}{d x} [2 y]$

Paso 2.3.8.2.2

Cancela el factor común.

$12 x^{2} + \frac{y (2 y')}{y \cdot y} + \frac{d}{d x} [2 y]$

Paso 2.3.8.2.3

Reescribe la expresión.

$12 x^{2} + \frac{2 y'}{y} + \frac{d}{d x} [2 y]$

Paso 2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 y]$ .

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Paso 2.4.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 y$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [y]$ .

$12 x^{2} + \frac{2 y'}{y} + 2 \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.4.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$12 x^{2} + \frac{2 y'}{y} + 2 y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$12 x^{2} + \frac{2 y'}{y} + 2 y' = 2$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 5.1.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$1, y, 1, 1$

Paso 5.1.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$y$

Paso 5.2

Multiplica cada término en $12 x^{2} + \frac{2 y'}{y} + 2 y' = 2$ por $y$ para eliminar las fracciones.

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Paso 5.2.1

Multiplica cada término en $12 x^{2} + \frac{2 y'}{y} + 2 y' = 2$ por $y$ .

$12 x^{2} y + \frac{2 y'}{y} y + 2 y' y = 2 y$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.1

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$12 x^{2} y + \frac{2 y'}{y} y + 2 y' y = 2 y$

Paso 5.2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$12 x^{2} y + 2 y' + 2 y' y = 2 y$

Paso 5.3

Resuelve la ecuación.

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Paso 5.3.1

Resta $12 x^{2} y$ de ambos lados de la ecuación.

$2 y' + 2 y' y = 2 y - 12 x^{2} y$

Paso 5.3.2

Factoriza $2 y'$ de $2 y' + 2 y' y$ .

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Paso 5.3.2.1

Factoriza $2 y'$ de $2 y'$ .

$2 y' \cdot 1 + 2 y' y = 2 y - 12 x^{2} y$

Paso 5.3.2.2

Factoriza $2 y'$ de $2 y' y$ .

$2 y' \cdot 1 + 2 y' y = 2 y - 12 x^{2} y$

Paso 5.3.2.3

Factoriza $2 y'$ de $2 y' \cdot 1 + 2 y' y$ .

$2 y' (1 + y) = 2 y - 12 x^{2} y$

Paso 5.3.3

Divide cada término en $2 y' (1 + y) = 2 y - 12 x^{2} y$ por $2 (1 + y)$ y simplifica.

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Paso 5.3.3.1

Divide cada término en $2 y' (1 + y) = 2 y - 12 x^{2} y$ por $2 (1 + y)$ .

$\frac{2 y' (1 + y)}{2 (1 + y)} = \frac{2 y}{2 (1 + y)} + \frac{- 12 x^{2} y}{2 (1 + y)}$

Paso 5.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y' (1 + y)}{2 (1 + y)} = \frac{2 y}{2 (1 + y)} + \frac{- 12 x^{2} y}{2 (1 + y)}$

Paso 5.3.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' (1 + y)}{1 + y} = \frac{2 y}{2 (1 + y)} + \frac{- 12 x^{2} y}{2 (1 + y)}$

Paso 5.3.3.2.2

Cancela el factor común de $1 + y$ .

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Paso 5.3.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (1 + y)}{1 + y} = \frac{2 y}{2 (1 + y)} + \frac{- 12 x^{2} y}{2 (1 + y)}$

Paso 5.3.3.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{2 y}{2 (1 + y)} + \frac{- 12 x^{2} y}{2 (1 + y)}$

Paso 5.3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.3.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.3.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$y' = \frac{2 y}{2 (1 + y)} + \frac{- 12 x^{2} y}{2 (1 + y)}$

Paso 5.3.3.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{y}{1 + y} + \frac{- 12 x^{2} y}{2 (1 + y)}$

Paso 5.3.3.3.1.2

Cancela el factor común de $- 12$ y $2$ .

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Paso 5.3.3.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $- 12 x^{2} y$ .

$y' = \frac{y}{1 + y} + \frac{2 (- 6 x^{2} y)}{2 (1 + y)}$

Paso 5.3.3.3.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.3.3.1.2.2.1

Cancela el factor común.

$y' = \frac{y}{1 + y} + \frac{2 (- 6 x^{2} y)}{2 (1 + y)}$

Paso 5.3.3.3.1.2.2.2

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{y}{1 + y} + \frac{- 6 x^{2} y}{1 + y}$

Paso 5.3.3.3.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = \frac{y}{1 + y} - \frac{6 x^{2} y}{1 + y}$

Paso 5.3.3.3.2

Simplifica los términos.

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Paso 5.3.3.3.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{y - 6 x^{2} y}{1 + y}$

Paso 5.3.3.3.2.2

Factoriza $y$ de $y - 6 x^{2} y$ .

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Paso 5.3.3.3.2.2.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$y' = \frac{y^{1} - 6 x^{2} y}{1 + y}$

Paso 5.3.3.3.2.2.2

Factoriza $y$ de $y^{1}$ .

$y' = \frac{y \cdot 1 - 6 x^{2} y}{1 + y}$

Paso 5.3.3.3.2.2.3

Factoriza $y$ de $- 6 x^{2} y$ .

$y' = \frac{y \cdot 1 + y (- 6 x^{2})}{1 + y}$

Paso 5.3.3.3.2.2.4

Factoriza $y$ de $y \cdot 1 + y (- 6 x^{2})$ .

$y' = \frac{y (1 - 6 x^{2})}{1 + y}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (1 - 6 x^{2})}{1 + y}$