Cálculo Ejemplos

$2 x^{2} - 3 x y + y^{3} = - 1$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (2 x^{2} - 3 x y + y^{3}) = \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x^{2} - 3 x y + y^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x y] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x y] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{2}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x y] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x y] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Paso 2.2.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [- 3 x y] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 3 x y]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x y$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$4 x - 3 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y$ .

$4 x - 3 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Paso 2.3.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$4 x - 3 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Paso 2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 x - 3 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Paso 2.3.5

Multiplica $y$ por $1$ .

$4 x - 3 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Paso 2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

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Paso 2.4.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.4.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$4 x - 3 (x y' + y) + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.4.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$4 x - 3 (x y' + y) + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.4.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$4 x - 3 (x y' + y) + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.4.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$4 x - 3 (x y' + y) + 3 y^{2} y'$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$4 x - 3 (x y') - 3 y + 3 y^{2} y'$

Paso 2.5.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$4 x - 3 x y' - 3 y + 3 y^{2} y'$

Paso 2.5.3

Reordena los términos.

$- 3 x y' + 3 y^{2} y' + 4 x - 3 y$

Paso 3

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$- 3 x y' + 3 y^{2} y' + 4 x - 3 y = 0$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Mueve todos los términos que no contengan $y'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.1.1

Resta $4 x$ de ambos lados de la ecuación.

$- 3 x y' + 3 y^{2} y' - 3 y = - 4 x$

Paso 5.1.2

Suma $3 y$ a ambos lados de la ecuación.

$- 3 x y' + 3 y^{2} y' = - 4 x + 3 y$

Paso 5.2

Factoriza $3 y'$ de $- 3 x y' + 3 y^{2} y'$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $3 y'$ de $- 3 x y'$ .

$3 y' (- x) + 3 y^{2} y' = - 4 x + 3 y$

Paso 5.2.2

Factoriza $3 y'$ de $3 y^{2} y'$ .

$3 y' (- x) + 3 y' y^{2} = - 4 x + 3 y$

Paso 5.2.3

Factoriza $3 y'$ de $3 y' (- x) + 3 y' y^{2}$ .

$3 y' (- x + y^{2}) = - 4 x + 3 y$

Paso 5.3

Divide cada término en $3 y' (- x + y^{2}) = - 4 x + 3 y$ por $3 (- x + y^{2})$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $3 y' (- x + y^{2}) = - 4 x + 3 y$ por $3 (- x + y^{2})$ .

$\frac{3 y' (- x + y^{2})}{3 (- x + y^{2})} = \frac{- 4 x}{3 (- x + y^{2})} + \frac{3 y}{3 (- x + y^{2})}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 y' (- x + y^{2})}{3 (- x + y^{2})} = \frac{- 4 x}{3 (- x + y^{2})} + \frac{3 y}{3 (- x + y^{2})}$

Paso 5.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' (- x + y^{2})}{- x + y^{2}} = \frac{- 4 x}{3 (- x + y^{2})} + \frac{3 y}{3 (- x + y^{2})}$

Paso 5.3.2.2

Cancela el factor común de $- x + y^{2}$ .

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Paso 5.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (- x + y^{2})}{- x + y^{2}} = \frac{- 4 x}{3 (- x + y^{2})} + \frac{3 y}{3 (- x + y^{2})}$

Paso 5.3.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 4 x}{3 (- x + y^{2})} + \frac{3 y}{3 (- x + y^{2})}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{4 x}{3 (- x + y^{2})} + \frac{3 y}{3 (- x + y^{2})}$

Paso 5.3.3.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.3.3.1.2.1

Cancela el factor común.

$y' = - \frac{4 x}{3 (- x + y^{2})} + \frac{3 y}{3 (- x + y^{2})}$

Paso 5.3.3.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y' = - \frac{4 x}{3 (- x + y^{2})} + \frac{y}{- x + y^{2}}$

Paso 5.3.3.2

Para escribir $\frac{y}{- x + y^{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$y' = - \frac{4 x}{3 (- x + y^{2})} + \frac{y}{- x + y^{2}} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 5.3.3.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $3 (- x + y^{2})$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 5.3.3.3.1

Multiplica $\frac{y}{- x + y^{2}}$ por $\frac{3}{3}$ .

$y' = - \frac{4 x}{3 (- x + y^{2})} + \frac{y \cdot 3}{(- x + y^{2}) \cdot 3}$

Paso 5.3.3.3.2

Reordena los factores de $(- x + y^{2}) \cdot 3$ .

$y' = - \frac{4 x}{3 (- x + y^{2})} + \frac{y \cdot 3}{3 (- x + y^{2})}$

Paso 5.3.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{- 4 x + y \cdot 3}{3 (- x + y^{2})}$

Paso 5.3.3.5

Mueve $3$ a la izquierda de $y$ .

$y' = \frac{- 4 x + 3 y}{3 (- x + y^{2})}$

Paso 5.3.3.6

Simplifica los términos.

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Paso 5.3.3.6.1

Factoriza $- 1$ de $- 4 x$ .

$y' = \frac{- (4 x) + 3 y}{3 (- x + y^{2})}$

Paso 5.3.3.6.2

Factoriza $- 1$ de $3 y$ .

$y' = \frac{- (4 x) - (- 3 y)}{3 (- x + y^{2})}$

Paso 5.3.3.6.3

Factoriza $- 1$ de $- (4 x) - (- 3 y)$ .

$y' = \frac{- (4 x - 3 y)}{3 (- x + y^{2})}$

Paso 5.3.3.6.4

Reescribe $- (4 x - 3 y)$ como $- 1 (4 x - 3 y)$ .

$y' = \frac{- 1 (4 x - 3 y)}{3 (- x + y^{2})}$

Paso 5.3.3.6.5

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$y' = \frac{- 1 (4 x - 3 y)}{3 (- (x) + y^{2})}$

Paso 5.3.3.6.6

Factoriza $- 1$ de $y^{2}$ .

$y' = \frac{- 1 (4 x - 3 y)}{3 (- (x) - 1 (- y^{2}))}$

Paso 5.3.3.6.7

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (- y^{2})$ .

$y' = \frac{- 1 (4 x - 3 y)}{3 (- (x - y^{2}))}$

Paso 5.3.3.6.8

Reescribe $- (x - y^{2})$ como $- 1 (x - y^{2})$ .

$y' = \frac{- 1 (4 x - 3 y)}{3 (- 1 (x - y^{2}))}$

Paso 5.3.3.6.9

Cancela el factor común.

$y' = \frac{- 1 (4 x - 3 y)}{3 (- 1 (x - y^{2}))}$

Paso 5.3.3.6.10

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{4 x - 3 y}{3 (x - y^{2})}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x - 3 y}{3 (x - y^{2})}$