Cálculo Ejemplos

$x y^{3} - x^{5} y^{2} = - 4$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (x y^{3} - x^{5} y^{2}) = \frac{d}{d x} (- 4)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x y^{3} - x^{5} y^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{5} y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{5} y^{2}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [x y^{3}]$ .

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Paso 2.2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y^{3}$ .

$x \frac{d}{d x} [y^{3}] + y^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{5} y^{2}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $y$ .

$x (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{5} y^{2}]$

Paso 2.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$x (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{5} y^{2}]$

Paso 2.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $y$ .

$x (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{5} y^{2}]$

Paso 2.2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x (3 y^{2} y') + y^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{5} y^{2}]$

Paso 2.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x (3 y^{2} y') + y^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{5} y^{2}]$

Paso 2.2.5

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$3 \cdot x y^{2} y' + y^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{5} y^{2}]$

Paso 2.2.6

Multiplica $y^{3}$ por $1$ .

$3 x y^{2} y' + y^{3} + \frac{d}{d x} [- x^{5} y^{2}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{5} y^{2}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{5} y^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{5} y^{2}]$ .

$3 x y^{2} y' + y^{3} - \frac{d}{d x} [x^{5} y^{2}]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{5}$ y $g (x) = y^{2}$ .

$3 x y^{2} y' + y^{3} - (x^{5} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $y$ .

$3 x y^{2} y' + y^{3} - (x^{5} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Paso 2.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 x y^{2} y' + y^{3} - (x^{5} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Paso 2.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $y$ .

$3 x y^{2} y' + y^{3} - (x^{5} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Paso 2.3.4

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 x y^{2} y' + y^{3} - (x^{5} (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Paso 2.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$3 x y^{2} y' + y^{3} - (x^{5} (2 y y') + y^{2} (5 x^{4}))$

Paso 2.3.6

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{5}$ .

$3 x y^{2} y' + y^{3} - (2 \cdot x^{5} y y' + y^{2} (5 x^{4}))$

Paso 2.3.7

Mueve $5$ a la izquierda de $y^{2}$ .

$3 x y^{2} y' + y^{3} - (2 x^{5} y y' + 5 y^{2} x^{4})$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x y^{2} y' + y^{3} - (2 x^{5} y y') - (5 y^{2} x^{4})$

Paso 2.4.2

Combina los términos.

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Paso 2.4.2.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$3 x y^{2} y' + y^{3} - 2 (x^{5} y y') - (5 y^{2} x^{4})$

Paso 2.4.2.2

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$3 x y^{2} y' + y^{3} - 2 x^{5} y y' - 5 y^{2} x^{4}$

Paso 2.4.3

Reordena los términos.

$y^{3} + 3 y^{2} x y' - 2 x^{5} y y' - 5 x^{4} y^{2}$

Paso 3

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y^{3} + 3 y^{2} x y' - 2 x^{5} y y' - 5 x^{4} y^{2} = 0$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Mueve todos los términos que no contengan $y'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.1.1

Resta $y^{3}$ de ambos lados de la ecuación.

$3 y^{2} x y' - 2 x^{5} y y' - 5 x^{4} y^{2} = - y^{3}$

Paso 5.1.2

Suma $5 x^{4} y^{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$3 y^{2} x y' - 2 x^{5} y y' = - y^{3} + 5 x^{4} y^{2}$

Paso 5.2

Factoriza $y x y'$ de $3 y^{2} x y' - 2 x^{5} y y'$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $y x y'$ de $3 y^{2} x y'$ .

$y x y' (3 y) - 2 x^{5} y y' = - y^{3} + 5 x^{4} y^{2}$

Paso 5.2.2

Factoriza $y x y'$ de $- 2 x^{5} y y'$ .

$y x y' (3 y) + y x y' (- 2 x^{4}) = - y^{3} + 5 x^{4} y^{2}$

Paso 5.2.3

Factoriza $y x y'$ de $y x y' (3 y) + y x y' (- 2 x^{4})$ .

$y x y' (3 y - 2 x^{4}) = - y^{3} + 5 x^{4} y^{2}$

Paso 5.3

Divide cada término en $y x y' (3 y - 2 x^{4}) = - y^{3} + 5 x^{4} y^{2}$ por $y x (3 y - 2 x^{4})$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $y x y' (3 y - 2 x^{4}) = - y^{3} + 5 x^{4} y^{2}$ por $y x (3 y - 2 x^{4})$ .

$\frac{y x y' (3 y - 2 x^{4})}{y x (3 y - 2 x^{4})} = \frac{- y^{3}}{y x (3 y - 2 x^{4})} + \frac{5 x^{4} y^{2}}{y x (3 y - 2 x^{4})}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y x y' (3 y - 2 x^{4})}{y x (3 y - 2 x^{4})} = \frac{- y^{3}}{y x (3 y - 2 x^{4})} + \frac{5 x^{4} y^{2}}{y x (3 y - 2 x^{4})}$

Paso 5.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x y' (3 y - 2 x^{4})}{x (3 y - 2 x^{4})} = \frac{- y^{3}}{y x (3 y - 2 x^{4})} + \frac{5 x^{4} y^{2}}{y x (3 y - 2 x^{4})}$

Paso 5.3.2.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 5.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x y' (3 y - 2 x^{4})}{x (3 y - 2 x^{4})} = \frac{- y^{3}}{y x (3 y - 2 x^{4})} + \frac{5 x^{4} y^{2}}{y x (3 y - 2 x^{4})}$

Paso 5.3.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' (3 y - 2 x^{4})}{3 y - 2 x^{4}} = \frac{- y^{3}}{y x (3 y - 2 x^{4})} + \frac{5 x^{4} y^{2}}{y x (3 y - 2 x^{4})}$

Paso 5.3.2.3

Cancela el factor común de $3 y - 2 x^{4}$ .

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Paso 5.3.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (3 y - 2 x^{4})}{3 y - 2 x^{4}} = \frac{- y^{3}}{y x (3 y - 2 x^{4})} + \frac{5 x^{4} y^{2}}{y x (3 y - 2 x^{4})}$

Paso 5.3.2.3.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- y^{3}}{y x (3 y - 2 x^{4})} + \frac{5 x^{4} y^{2}}{y x (3 y - 2 x^{4})}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.1.1

Cancela el factor común de $y^{3}$ y $y$ .

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Paso 5.3.3.1.1.1

Factoriza $y$ de $- y^{3}$ .

$y' = \frac{y (- y^{2})}{y x (3 y - 2 x^{4})} + \frac{5 x^{4} y^{2}}{y x (3 y - 2 x^{4})}$

Paso 5.3.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.3.1.1.2.1

Factoriza $y$ de $y x (3 y - 2 x^{4})$ .

$y' = \frac{y (- y^{2})}{y (x (3 y - 2 x^{4}))} + \frac{5 x^{4} y^{2}}{y x (3 y - 2 x^{4})}$

Paso 5.3.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$y' = \frac{y (- y^{2})}{y (x (3 y - 2 x^{4}))} + \frac{5 x^{4} y^{2}}{y x (3 y - 2 x^{4})}$

Paso 5.3.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{- y^{2}}{x (3 y - 2 x^{4})} + \frac{5 x^{4} y^{2}}{y x (3 y - 2 x^{4})}$

Paso 5.3.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{y^{2}}{x (3 y - 2 x^{4})} + \frac{5 x^{4} y^{2}}{y x (3 y - 2 x^{4})}$

Paso 5.3.3.1.3

Cancela el factor común de $x^{4}$ y $x$ .

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Paso 5.3.3.1.3.1

Factoriza $x$ de $5 x^{4} y^{2}$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{x (3 y - 2 x^{4})} + \frac{x (5 x^{3} y^{2})}{y x (3 y - 2 x^{4})}$

Paso 5.3.3.1.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.3.1.3.2.1

Factoriza $x$ de $y x (3 y - 2 x^{4})$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{x (3 y - 2 x^{4})} + \frac{x (5 x^{3} y^{2})}{x (y (3 y - 2 x^{4}))}$

Paso 5.3.3.1.3.2.2

Cancela el factor común.

$y' = - \frac{y^{2}}{x (3 y - 2 x^{4})} + \frac{x (5 x^{3} y^{2})}{x (y (3 y - 2 x^{4}))}$

Paso 5.3.3.1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = - \frac{y^{2}}{x (3 y - 2 x^{4})} + \frac{5 x^{3} y^{2}}{y (3 y - 2 x^{4})}$

Paso 5.3.3.1.4

Cancela el factor común de $y^{2}$ y $y$ .

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Paso 5.3.3.1.4.1

Factoriza $y$ de $5 x^{3} y^{2}$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{x (3 y - 2 x^{4})} + \frac{y (5 x^{3} y)}{y (3 y - 2 x^{4})}$

Paso 5.3.3.1.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.3.1.4.2.1

Cancela el factor común.

$y' = - \frac{y^{2}}{x (3 y - 2 x^{4})} + \frac{y (5 x^{3} y)}{y (3 y - 2 x^{4})}$

Paso 5.3.3.1.4.2.2

Reescribe la expresión.

$y' = - \frac{y^{2}}{x (3 y - 2 x^{4})} + \frac{5 x^{3} y}{3 y - 2 x^{4}}$

Paso 5.3.3.2

Para escribir $\frac{5 x^{3} y}{3 y - 2 x^{4}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{x (3 y - 2 x^{4})} + \frac{5 x^{3} y}{3 y - 2 x^{4}} \cdot \frac{x}{x}$

Paso 5.3.3.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $x (3 y - 2 x^{4})$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 5.3.3.3.1

Multiplica $\frac{5 x^{3} y}{3 y - 2 x^{4}}$ por $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{x (3 y - 2 x^{4})} + \frac{5 x^{3} y x}{(3 y - 2 x^{4}) x}$

Paso 5.3.3.3.2

Reordena los factores de $(3 y - 2 x^{4}) x$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{x (3 y - 2 x^{4})} + \frac{5 x^{3} y x}{x (3 y - 2 x^{4})}$

Paso 5.3.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{- y^{2} + 5 x^{3} y x}{x (3 y - 2 x^{4})}$

Paso 5.3.3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.3.5.1

Factoriza $y$ de $- y^{2} + 5 x^{3} y x$ .

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Paso 5.3.3.5.1.1

Factoriza $y$ de $- y^{2}$ .

$y' = \frac{y (- y) + 5 x^{3} y x}{x (3 y - 2 x^{4})}$

Paso 5.3.3.5.1.2

Factoriza $y$ de $5 x^{3} y x$ .

$y' = \frac{y (- y) + y (5 x^{3} x)}{x (3 y - 2 x^{4})}$

Paso 5.3.3.5.1.3

Factoriza $y$ de $y (- y) + y (5 x^{3} x)$ .

$y' = \frac{y (- y + 5 x^{3} x)}{x (3 y - 2 x^{4})}$

Paso 5.3.3.5.2

Multiplica $x^{3}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 5.3.3.5.2.1

Mueve $x$ .

$y' = \frac{y (- y + 5 (x \cdot x^{3}))}{x (3 y - 2 x^{4})}$

Paso 5.3.3.5.2.2

Multiplica $x$ por $x^{3}$ .

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Paso 5.3.3.5.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$y' = \frac{y (- y + 5 (x^{1} x^{3}))}{x (3 y - 2 x^{4})}$

Paso 5.3.3.5.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y' = \frac{y (- y + 5 x^{1 + 3})}{x (3 y - 2 x^{4})}$

Paso 5.3.3.5.2.3

Suma $1$ y $3$ .

$y' = \frac{y (- y + 5 x^{4})}{x (3 y - 2 x^{4})}$

Paso 5.3.3.6

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 5.3.3.6.1

Factoriza $- 1$ de $- y$ .

$y' = \frac{y (- (y) + 5 x^{4})}{x (3 y - 2 x^{4})}$

Paso 5.3.3.6.2

Factoriza $- 1$ de $5 x^{4}$ .

$y' = \frac{y (- (y) - (- 5 x^{4}))}{x (3 y - 2 x^{4})}$

Paso 5.3.3.6.3

Factoriza $- 1$ de $- (y) - (- 5 x^{4})$ .

$y' = \frac{y (- (y - 5 x^{4}))}{x (3 y - 2 x^{4})}$

Paso 5.3.3.6.4

Simplifica la expresión.

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Paso 5.3.3.6.4.1

Reescribe $- (y - 5 x^{4})$ como $- 1 (y - 5 x^{4})$ .

$y' = \frac{y (- 1 (y - 5 x^{4}))}{x (3 y - 2 x^{4})}$

Paso 5.3.3.6.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{y (y - 5 x^{4})}{x (3 y - 2 x^{4})}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (y - 5 x^{4})}{x (3 y - 2 x^{4})}$