Cálculo Ejemplos

$f (x) = \cos (x) \tan (x)$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = \tan (x)$ .

$\cos (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 2

La derivada de $\tan (x)$ con respecto a $x$ es $\sec^{2} (x)$ .

$\cos (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 3

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$\cos (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (- \sin (x))$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Reordena los términos.

$\sec^{2} (x) \cos (x) - \sin (x) \tan (x)$

Paso 4.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1

Reescribe $\sec (x)$ en términos de senos y cosenos.

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \cos (x) - \sin (x) \tan (x)$

Paso 4.2.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \cos (x) - \sin (x) \tan (x)$

Paso 4.2.3

Cancela el factor común de $\cos (x)$ .

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Paso 4.2.3.1

Factoriza $\cos (x)$ de $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{1^{2}}{\cos (x) \cos (x)} \cos (x) - \sin (x) \tan (x)$

Paso 4.2.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{1^{2}}{\cos (x) \cos (x)} \cos (x) - \sin (x) \tan (x)$

Paso 4.2.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1^{2}}{\cos (x)} - \sin (x) \tan (x)$

Paso 4.2.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{\cos (x)} - \sin (x) \tan (x)$

Paso 4.2.5

Reescribe $\tan (x)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{1}{\cos (x)} - \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Paso 4.2.6

Multiplica $- \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

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Paso 4.2.6.1

Combina $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ y $\sin (x)$ .

$\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)}$

Paso 4.2.6.2

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x)}$

Paso 4.2.6.3

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x)}$

Paso 4.2.6.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{\cos (x)} - \frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)}$

Paso 4.2.6.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Paso 4.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1 - \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Paso 4.4

Aplica la identidad pitagórica.

$\frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Paso 4.5

Cancela el factor común de $\cos^{2} (x)$ y $\cos (x)$ .

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Paso 4.5.1

Factoriza $\cos (x)$ de $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x)}$

Paso 4.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.5.2.1

Multiplica por $1$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \cdot 1}$

Paso 4.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \cdot 1}$

Paso 4.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\cos (x)}{1}$

Paso 4.5.2.4

Divide $\cos (x)$ por $1$ .

$\cos (x)$