Cálculo Ejemplos

$6 \sqrt{y^{3} + 1} - 2 x^{1.5} - 2 = 0$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{y^{3} + 1}$ como ${(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$6 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2 x^{1.5} - 2 = 0$

Paso 2

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (6 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2 x^{1.5} - 2) = \frac{d}{d x} (0)$

Paso 3

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $6 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2 x^{1.5} - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [6 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [6 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [6 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}]$ .

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Paso 3.2.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [{(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [{(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = y^{3} + 1$ .

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Paso 3.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $y^{3} + 1$ .

$6 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [y^{3} + 1]) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 3.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$6 (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y^{3} + 1]) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 3.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $y^{3} + 1$ .

$6 (\frac{1}{2} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y^{3} + 1]) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 3.2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $y^{3} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$6 (\frac{1}{2} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [1])) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 3.2.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 3.2.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $y$ .

$6 (\frac{1}{2} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1])) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 3.2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$6 (\frac{1}{2} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1])) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 3.2.4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $y$ .

$6 (\frac{1}{2} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1])) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 3.2.5

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$6 (\frac{1}{2} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [1])) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 3.2.6

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$6 (\frac{1}{2} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (3 y^{2} y' + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 3.2.7

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$6 (\frac{1}{2} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (3 y^{2} y' + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 3.2.8

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$6 (\frac{1}{2} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (3 y^{2} y' + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 3.2.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$6 (\frac{1}{2} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (3 y^{2} y' + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 3.2.10

Simplifica el numerador.

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Paso 3.2.10.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$6 (\frac{1}{2} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} (3 y^{2} y' + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 3.2.10.2

Resta $2$ de $1$ .

$6 (\frac{1}{2} {(y^{3} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} (3 y^{2} y' + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 3.2.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$6 (\frac{1}{2} {(y^{3} + 1)}^{- \frac{1}{2}} (3 y^{2} y' + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 3.2.12

Suma $3 y^{2} y'$ y $0$ .

$6 (\frac{1}{2} {(y^{3} + 1)}^{- \frac{1}{2}} (3 y^{2} y')) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 3.2.13

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(y^{3} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$6 (\frac{{(y^{3} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} (3 y^{2} y')) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 3.2.14

Combina $3$ y $\frac{{(y^{3} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$6 (\frac{3 {(y^{3} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} (y^{2} y')) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 3.2.15

Combina $y^{2}$ y $\frac{3 {(y^{3} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$6 (\frac{y^{2} (3 {(y^{3} + 1)}^{- \frac{1}{2}})}{2} y') + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 3.2.16

Combina $\frac{y^{2} (3 {(y^{3} + 1)}^{- \frac{1}{2}})}{2}$ y $y'$ .

$6 \frac{y^{2} (3 {(y^{3} + 1)}^{- \frac{1}{2}}) y'}{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 3.2.17

Mueve ${(y^{3} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 \frac{y^{2} \cdot 3 y'}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 3.2.18

Mueve $3$ a la izquierda de $y^{2}$ .

$6 \frac{3 \cdot y^{2} y'}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 3.2.19

Combina $6$ y $\frac{3 y^{2} y'}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{6 (3 y^{2} y')}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 3.2.20

Multiplica $3$ por $6$ .

$\frac{18 (y^{2} y')}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 3.2.21

Factoriza $2$ de $18 y^{2} y'$ .

$\frac{2 (9 y^{2} y')}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 3.2.22

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.2.22.1

Factoriza $2$ de $2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (9 y^{2} y')}{2 ({(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 3.2.22.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (9 y^{2} y')}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 3.2.22.3

Reescribe la expresión.

$\frac{9 y^{2} y'}{{(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 x^{1.5}]$ .

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Paso 3.3.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x^{1.5}$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x^{1.5}]$ .

$\frac{9 y^{2} y'}{{(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - 2 \frac{d}{d x} [x^{1.5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1.5$ .

$\frac{9 y^{2} y'}{{(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - 2 (1.5 x^{0.5}) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 3.3.3

Multiplica $1.5$ por $- 2$ .

$\frac{9 y^{2} y'}{{(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - 3 x^{0.5} + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 3.4.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{9 y^{2} y'}{{(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - 3 x^{0.5} + 0$

Paso 3.4.2

Suma $\frac{9 y^{2} y'}{{(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - 3 x^{0.5}$ y $0$ .

$\frac{9 y^{2} y'}{{(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - 3 x^{0.5}$

Paso 4

Como $0$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $0$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 5

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$\frac{9 y^{2} y'}{{(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - 3 x^{0.5} = 0$

Paso 6

Resuelve $y'$

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Paso 6.1

Suma $3 x^{0.5}$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{9 y^{2} y'}{{(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 3 x^{0.5}$

Paso 6.2

Multiplica ambos lados por ${(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{9 y^{2} y'}{{(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} = 3 x^{0.5} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$

Paso 6.3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.1

Cancela el factor común de ${(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 6.3.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{9 y^{2} y'}{{(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} = 3 x^{0.5} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$

Paso 6.3.1.2

Reescribe la expresión.

$9 y^{2} y' = 3 x^{0.5} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$

Paso 6.4

Divide cada término en $9 y^{2} y' = 3 x^{0.5} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ por $9 y^{2}$ y simplifica.

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Paso 6.4.1

Divide cada término en $9 y^{2} y' = 3 x^{0.5} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ por $9 y^{2}$ .

$\frac{9 y^{2} y'}{9 y^{2}} = \frac{3 x^{0.5} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{9 y^{2}}$

Paso 6.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.4.2.1

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 6.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{9 y^{2} y'}{9 y^{2}} = \frac{3 x^{0.5} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{9 y^{2}}$

Paso 6.4.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{3 x^{0.5} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{9 y^{2}}$

Paso 6.4.2.2

Cancela el factor común de $y^{2}$ .

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Paso 6.4.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{3 x^{0.5} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{9 y^{2}}$

Paso 6.4.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{3 x^{0.5} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{9 y^{2}}$

Paso 6.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.4.3.1

Factoriza $3$ de $3 x^{0.5} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{3 (x^{0.5} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}})}{9 y^{2}}$

Paso 6.4.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.4.3.2.1

Factoriza $3$ de $9 y^{2}$ .

$y' = \frac{3 (x^{0.5} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}})}{3 (3 y^{2})}$

Paso 6.4.3.2.2

Cancela el factor común.

$y' = \frac{3 (x^{0.5} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}})}{3 (3 y^{2})}$

Paso 6.4.3.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{x^{0.5} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{3 y^{2}}$

Paso 7

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{0.5} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{3 y^{2}}$