Cálculo Ejemplos

$\ln (y) = 7 x \ln (\sqrt{x})$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (y) = 7 x \ln (x^{\frac{1}{2}})$

Paso 2

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (\ln (y)) = \frac{d}{d x} (7 x \ln (x^{\frac{1}{2}}))$

Paso 3

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = y$ .

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Paso 3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.1.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{1}{y} y'$

Paso 3.3

Combina $\frac{1}{y}$ y $y'$ .

$\frac{y'}{y}$

Paso 4

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.1

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7 x \ln (x^{\frac{1}{2}})$ con respecto a $x$ es $7 \frac{d}{d x} [x \ln (x^{\frac{1}{2}})]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x \ln (x^{\frac{1}{2}})]$

Paso 4.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \ln (x^{\frac{1}{2}})$ .

$7 (x \frac{d}{d x} [\ln (x^{\frac{1}{2}})] + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 4.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$7 (x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.3.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$7 (x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{\frac{1}{2}}$ .

$7 (x (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.4

Combina $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$7 (\frac{x}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.5

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$7 (x \cdot x^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.6

Multiplica $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.6.1

Multiplica $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Paso 4.6.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$7 (x^{1} x^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.6.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$7 (x^{1 - \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.6.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$7 (x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.6.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$7 (x^{\frac{2 - 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.6.4

Resta $1$ de $2$ .

$7 (x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$7 (x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.8

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$7 (x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.9

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$7 (x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$7 (x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.11

Simplifica el numerador.

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Paso 4.11.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$7 (x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.11.2

Resta $2$ de $1$ .

$7 (x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.12

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$7 (x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.13

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$7 (x^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.14

Combina $x^{\frac{1}{2}}$ y $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$7 (\frac{x^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.15

Multiplica $x^{\frac{1}{2}}$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.15.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$7 (\frac{x^{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}}}{2} + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.15.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$7 (\frac{x^{\frac{1 - 1}{2}}}{2} + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.15.3

Resta $1$ de $1$ .

$7 (\frac{x^{\frac{0}{2}}}{2} + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.15.4

Divide $0$ por $2$ .

$7 (\frac{x^{0}}{2} + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.16

Simplifica $x^{0}$ .

$7 (\frac{1}{2} + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.17

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$7 (\frac{1}{2} + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1)$

Paso 4.18

Multiplica $\ln (x^{\frac{1}{2}})$ por $1$ .

$7 (\frac{1}{2} + \ln (x^{\frac{1}{2}}))$

Paso 4.19

Simplifica.

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Paso 4.19.1

Aplica la propiedad distributiva.

$7 (\frac{1}{2}) + 7 \ln (x^{\frac{1}{2}})$

Paso 4.19.2

Combina $7$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{7}{2} + 7 \ln (x^{\frac{1}{2}})$

Paso 4.19.3

Reordena los términos.

$7 \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{7}{2}$

Paso 5

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$\frac{y'}{y} = 7 \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{7}{2}$

Paso 6

Resuelve $y'$

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Paso 6.1

Multiplica ambos lados por $y$ .

$\frac{y'}{y} y = (7 \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{7}{2}) y$

Paso 6.2

Simplifica.

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Paso 6.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.1.1

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 6.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y'}{y} y = (7 \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{7}{2}) y$

Paso 6.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$y' = (7 \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{7}{2}) y$

Paso 6.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.2.1

Simplifica $(7 \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{7}{2}) y$ .

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Paso 6.2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.2.1.1.1

Simplifica $7 \ln (x^{\frac{1}{2}})$ al mover $7$ dentro del algoritmo.

$y' = (\ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{7}) + \frac{7}{2}) y$

Paso 6.2.2.1.1.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{7}$ .

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Paso 6.2.2.1.1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y' = (\ln (x^{\frac{1}{2} \cdot 7}) + \frac{7}{2}) y$

Paso 6.2.2.1.1.2.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $7$ .

$y' = (\ln (x^{\frac{7}{2}}) + \frac{7}{2}) y$

Paso 6.2.2.1.2

Simplifica los términos.

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Paso 6.2.2.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y' = \ln (x^{\frac{7}{2}}) y + \frac{7}{2} y$

Paso 6.2.2.1.2.2

Combina $\frac{7}{2}$ y $y$ .

$y' = \ln (x^{\frac{7}{2}}) y + \frac{7 y}{2}$

Paso 6.2.2.1.2.3

Reordena los factores en $\ln (x^{\frac{7}{2}}) y + \frac{7 y}{2}$ .

$y' = y \ln (x^{\frac{7}{2}}) + \frac{7 y}{2}$

Paso 7

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = y \ln (x^{\frac{7}{2}}) + \frac{7 y}{2}$