Cálculo Ejemplos

$x = \frac{y^{3}}{27} + \frac{9}{4 y}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (x) = \frac{d}{d x} (\frac{y^{3}}{27} + \frac{9}{4 y})$

Paso 2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{y^{3}}{27} + \frac{9}{4 y}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{y^{3}}{27}] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{y^{3}}{27}] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{y^{3}}{27}]$ .

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Paso 3.2.1

Como $\frac{1}{27}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{y^{3}}{27}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{27} \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{1}{27} \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 3.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$\frac{1}{27} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]$

Paso 3.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{1}{27} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]$

Paso 3.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$\frac{1}{27} (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]$

Paso 3.2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{1}{27} (3 y^{2} y') + \frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]$

Paso 3.2.4

Combina $3$ y $\frac{1}{27}$ .

$\frac{3}{27} (y^{2} y') + \frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]$

Paso 3.2.5

Combina $y^{2}$ y $\frac{3}{27}$ .

$\frac{y^{2} \cdot 3}{27} y' + \frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]$

Paso 3.2.6

Combina $\frac{y^{2} \cdot 3}{27}$ y $y'$ .

$\frac{y^{2} \cdot 3 y'}{27} + \frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]$

Paso 3.2.7

Mueve $3$ a la izquierda de $y^{2}$ .

$\frac{3 \cdot y^{2} y'}{27} + \frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]$

Paso 3.2.8

Cancela el factor común de $3$ y $27$ .

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Paso 3.2.8.1

Factoriza $3$ de $3 y^{2} y'$ .

$\frac{3 (y^{2} y')}{27} + \frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]$

Paso 3.2.8.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.2.8.2.1

Factoriza $3$ de $27$ .

$\frac{3 (y^{2} y')}{3 \cdot 9} + \frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]$

Paso 3.2.8.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 (y^{2} y')}{3 \cdot 9} + \frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]$

Paso 3.2.8.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{y^{2} y'}{9} + \frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]$ .

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Paso 3.3.1

Como $\frac{9}{4}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{9}{4 y}$ con respecto a $x$ es $\frac{9}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}]$ .

$\frac{y^{2} y'}{9} + \frac{9}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}]$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 1$ y $g (x) = y$ .

$\frac{y^{2} y'}{9} + \frac{9}{4} \cdot \frac{y \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Paso 3.3.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{y^{2} y'}{9} + \frac{9}{4} \cdot \frac{y \cdot 0 - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Paso 3.3.4

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{y^{2} y'}{9} + \frac{9}{4} \cdot \frac{y \cdot 0 - 1 \cdot 1 y'}{y^{2}}$

Paso 3.3.5

Multiplica $y$ por $0$ .

$\frac{y^{2} y'}{9} + \frac{9}{4} \cdot \frac{0 - 1 \cdot 1 y'}{y^{2}}$

Paso 3.3.6

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{y^{2} y'}{9} + \frac{9}{4} \cdot \frac{0 - y'}{y^{2}}$

Paso 3.3.7

Resta $y'$ de $0$ .

$\frac{y^{2} y'}{9} + \frac{9}{4} \cdot \frac{- y'}{y^{2}}$

Paso 3.3.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{y^{2} y'}{9} + \frac{9}{4} (- \frac{y'}{y^{2}})$

Paso 3.3.9

Multiplica $\frac{9}{4}$ por $\frac{y'}{y^{2}}$ .

$\frac{y^{2} y'}{9} - \frac{9 y'}{4 y^{2}}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$1 = \frac{y^{2} y'}{9} - \frac{9 y'}{4 y^{2}}$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Reescribe la ecuación como $\frac{y^{2} y'}{9} - \frac{9 y'}{4 y^{2}} = 1$ .

$\frac{y^{2} y'}{9} - \frac{9 y'}{4 y^{2}} = 1$

Paso 5.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 5.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$9, 4 y^{2}, 1$

Paso 5.2.2

Since $9, 4 y^{2}, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $9, 4, 1$ then find LCM for the variable part $y^{2}$ .

Paso 5.2.3

El MCM es el número positivo más pequeño en el que se dividen uniformemente todos los números.

1. Indica los factores primos de cada número.

2. Multiplica cada factor la mayor cantidad de veces que aparece en cualquier número.

Paso 5.2.4

$9$ tiene factores de $3$ y $3$ .

$3 \cdot 3$

Paso 5.2.5

$4$ tiene factores de $2$ y $2$ .

$2 \cdot 2$

Paso 5.2.6

El número $1$ no es un número primo porque solo tiene un factor positivo, que es sí mismo.

No es primo

Paso 5.2.7

El MCM de $9, 4, 1$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los números.

$2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3$

Paso 5.2.8

Multiplica $2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3$ .

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Paso 5.2.8.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 \cdot 3 \cdot 3$

Paso 5.2.8.2

Multiplica $4$ por $3$ .

$12 \cdot 3$

Paso 5.2.8.3

Multiplica $12$ por $3$ .

$36$

Paso 5.2.9

Los factores para $y^{2}$ son $y \cdot y$ , que es $y$ multiplicada una por la otra $2$ veces.

$y^{2} = y \cdot y$

$y$ ocurre $2$ veces.

Paso 5.2.10

El MCM de $y^{2}$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los términos.

$y \cdot y$

Paso 5.2.11

Multiplica $y$ por $y$ .

$y^{2}$

Paso 5.2.12

El MCM para $9, 4 y^{2}, 1$ es la parte numérica $36$ multiplicada por la parte variable.

$36 y^{2}$

Paso 5.3

Multiplica cada término en $\frac{y^{2} y'}{9} - \frac{9 y'}{4 y^{2}} = 1$ por $36 y^{2}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 5.3.1

Multiplica cada término en $\frac{y^{2} y'}{9} - \frac{9 y'}{4 y^{2}} = 1$ por $36 y^{2}$ .

$\frac{y^{2} y'}{9} (36 y^{2}) - \frac{9 y'}{4 y^{2}} (36 y^{2}) = 1 (36 y^{2})$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.2.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$36 \frac{y^{2} y'}{9} y^{2} - \frac{9 y'}{4 y^{2}} (36 y^{2}) = 1 (36 y^{2})$

Paso 5.3.2.1.2

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 5.3.2.1.2.1

Factoriza $9$ de $36$ .

$9 (4) \frac{y^{2} y'}{9} y^{2} - \frac{9 y'}{4 y^{2}} (36 y^{2}) = 1 (36 y^{2})$

Paso 5.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$9 \cdot 4 \frac{y^{2} y'}{9} y^{2} - \frac{9 y'}{4 y^{2}} (36 y^{2}) = 1 (36 y^{2})$

Paso 5.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$4 (y^{2} y') y^{2} - \frac{9 y'}{4 y^{2}} (36 y^{2}) = 1 (36 y^{2})$

Paso 5.3.2.1.3

Multiplica $y^{2}$ por $y^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.3.2.1.3.1

Mueve $y^{2}$ .

$4 (y^{2} y^{2} y') - \frac{9 y'}{4 y^{2}} (36 y^{2}) = 1 (36 y^{2})$

Paso 5.3.2.1.3.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$4 (y^{2 + 2} y') - \frac{9 y'}{4 y^{2}} (36 y^{2}) = 1 (36 y^{2})$

Paso 5.3.2.1.3.3

Suma $2$ y $2$ .

$4 (y^{4} y') - \frac{9 y'}{4 y^{2}} (36 y^{2}) = 1 (36 y^{2})$

Paso 5.3.2.1.4

Cancela el factor común de $4 y^{2}$ .

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Paso 5.3.2.1.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{9 y'}{4 y^{2}}$ al numerador.

$4 y^{4} y' + \frac{- 9 y'}{4 y^{2}} (36 y^{2}) = 1 (36 y^{2})$

Paso 5.3.2.1.4.2

Factoriza $4 y^{2}$ de $36 y^{2}$ .

$4 y^{4} y' + \frac{- 9 y'}{4 y^{2}} (4 y^{2} (9)) = 1 (36 y^{2})$

Paso 5.3.2.1.4.3

Cancela el factor común.

$4 y^{4} y' + \frac{- 9 y'}{4 y^{2}} (4 y^{2} \cdot 9) = 1 (36 y^{2})$

Paso 5.3.2.1.4.4

Reescribe la expresión.

$4 y^{4} y' - 9 y' \cdot 9 = 1 (36 y^{2})$

Paso 5.3.2.1.5

Multiplica $9$ por $- 9$ .

$4 y^{4} y' - 81 y' = 1 (36 y^{2})$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Multiplica $36 y^{2}$ por $1$ .

$4 y^{4} y' - 81 y' = 36 y^{2}$

Paso 5.4

Resuelve la ecuación.

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Paso 5.4.1

Factoriza $y'$ de $4 y^{4} y' - 81 y'$ .

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Paso 5.4.1.1

Factoriza $y'$ de $4 y^{4} y'$ .

$y' (4 y^{4}) - 81 y' = 36 y^{2}$

Paso 5.4.1.2

Factoriza $y'$ de $- 81 y'$ .

$y' (4 y^{4}) + y' \cdot - 81 = 36 y^{2}$

Paso 5.4.1.3

Factoriza $y'$ de $y' (4 y^{4}) + y' \cdot - 81$ .

$y' (4 y^{4} - 81) = 36 y^{2}$

Paso 5.4.2

Reescribe $4 y^{4}$ como ${(2 y^{2})}^{2}$ .

$y' ({(2 y^{2})}^{2} - 81) = 36 y^{2}$

Paso 5.4.3

Reescribe $81$ como $9^{2}$ .

$y' ({(2 y^{2})}^{2} - 9^{2}) = 36 y^{2}$

Paso 5.4.4

Factoriza.

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Paso 5.4.4.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 2 y^{2}$ y $b = 9$ .

$y' ((2 y^{2} + 9) (2 y^{2} - 9)) = 36 y^{2}$

Paso 5.4.4.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$y' (2 y^{2} + 9) (2 y^{2} - 9) = 36 y^{2}$

Paso 5.4.5

Divide cada término en $y' (2 y^{2} + 9) (2 y^{2} - 9) = 36 y^{2}$ por $(2 y^{2} + 9) (2 y^{2} - 9)$ y simplifica.

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Paso 5.4.5.1

Divide cada término en $y' (2 y^{2} + 9) (2 y^{2} - 9) = 36 y^{2}$ por $(2 y^{2} + 9) (2 y^{2} - 9)$ .

$\frac{y' (2 y^{2} + 9) (2 y^{2} - 9)}{(2 y^{2} + 9) (2 y^{2} - 9)} = \frac{36 y^{2}}{(2 y^{2} + 9) (2 y^{2} - 9)}$

Paso 5.4.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.5.2.1

Cancela el factor común de $2 y^{2} + 9$ .

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Paso 5.4.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (2 y^{2} + 9) (2 y^{2} - 9)}{(2 y^{2} + 9) (2 y^{2} - 9)} = \frac{36 y^{2}}{(2 y^{2} + 9) (2 y^{2} - 9)}$

Paso 5.4.5.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' (2 y^{2} - 9)}{2 y^{2} - 9} = \frac{36 y^{2}}{(2 y^{2} + 9) (2 y^{2} - 9)}$

Paso 5.4.5.2.2

Cancela el factor común de $2 y^{2} - 9$ .

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Paso 5.4.5.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (2 y^{2} - 9)}{2 y^{2} - 9} = \frac{36 y^{2}}{(2 y^{2} + 9) (2 y^{2} - 9)}$

Paso 5.4.5.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{36 y^{2}}{(2 y^{2} + 9) (2 y^{2} - 9)}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{36 y^{2}}{(2 y^{2} + 9) (2 y^{2} - 9)}$