Cálculo Ejemplos

$x = 2 \ln (y^{2} - 3)$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (x) = \frac{d}{d x} (2 \ln (y^{2} - 3))$

Paso 2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 \ln (y^{2} - 3)$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\ln (y^{2} - 3)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\ln (y^{2} - 3)]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = y^{2} - 3$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $y^{2} - 3$ .

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [y^{2} - 3])$

Paso 3.2.2

La derivada de $\ln (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{u_{1}}$ .

$2 (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [y^{2} - 3])$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $y^{2} - 3$ .

$2 (\frac{1}{y^{2} - 3} \frac{d}{d x} [y^{2} - 3])$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la suma.

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Paso 3.3.1

Combina $\frac{1}{y^{2} - 3}$ y $2$ .

$\frac{2}{y^{2} - 3} \frac{d}{d x} [y^{2} - 3]$

Paso 3.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $y^{2} - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{2}{y^{2} - 3} (\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 3.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $y$ .

$\frac{2}{y^{2} - 3} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Paso 3.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{2}{y^{2} - 3} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Paso 3.4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $y$ .

$\frac{2}{y^{2} - 3} (2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Paso 3.5

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{2}{y^{2} - 3} (2 y y' + \frac{d}{d x} [- 3])$

Paso 3.6

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{2}{y^{2} - 3} (2 y y' + 0)$

Paso 3.7

Combina fracciones.

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Paso 3.7.1

Suma $2 y y'$ y $0$ .

$\frac{2}{y^{2} - 3} (2 y y')$

Paso 3.7.2

Combina $2$ y $\frac{2}{y^{2} - 3}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{y^{2} - 3} (y y')$

Paso 3.7.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{4}{y^{2} - 3} (y y')$

Paso 3.7.4

Combina $y$ y $\frac{4}{y^{2} - 3}$ .

$\frac{y \cdot 4}{y^{2} - 3} y'$

Paso 3.7.5

Combina $\frac{y \cdot 4}{y^{2} - 3}$ y $y'$ .

$\frac{y \cdot 4 y'}{y^{2} - 3}$

Paso 3.7.6

Mueve $4$ a la izquierda de $y$ .

$\frac{4 y y'}{y^{2} - 3}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$1 = \frac{4 y y'}{y^{2} - 3}$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Reescribe la ecuación como $\frac{4 y y'}{y^{2} - 3} = 1$ .

$\frac{4 y y'}{y^{2} - 3} = 1$

Paso 5.2

Multiplica ambos lados por $y^{2} - 3$ .

$\frac{4 y y'}{y^{2} - 3} (y^{2} - 3) = 1 (y^{2} - 3)$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.1.1

Cancela el factor común de $y^{2} - 3$ .

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Paso 5.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 y y'}{y^{2} - 3} (y^{2} - 3) = 1 (y^{2} - 3)$

Paso 5.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$4 y y' = 1 (y^{2} - 3)$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.2.1

Multiplica $y^{2} - 3$ por $1$ .

$4 y y' = y^{2} - 3$

Paso 5.4

Divide cada término en $4 y y' = y^{2} - 3$ por $4 y$ y simplifica.

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Paso 5.4.1

Divide cada término en $4 y y' = y^{2} - 3$ por $4 y$ .

$\frac{4 y y'}{4 y} = \frac{y^{2}}{4 y} + \frac{- 3}{4 y}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 y y'}{4 y} = \frac{y^{2}}{4 y} + \frac{- 3}{4 y}$

Paso 5.4.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y y'}{y} = \frac{y^{2}}{4 y} + \frac{- 3}{4 y}$

Paso 5.4.2.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 5.4.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y y'}{y} = \frac{y^{2}}{4 y} + \frac{- 3}{4 y}$

Paso 5.4.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{y^{2}}{4 y} + \frac{- 3}{4 y}$

Paso 5.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.4.3.1.1

Cancela el factor común de $y^{2}$ y $y$ .

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Paso 5.4.3.1.1.1

Factoriza $y$ de $y^{2}$ .

$y' = \frac{y \cdot y}{4 y} + \frac{- 3}{4 y}$

Paso 5.4.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.4.3.1.1.2.1

Factoriza $y$ de $4 y$ .

$y' = \frac{y \cdot y}{y \cdot 4} + \frac{- 3}{4 y}$

Paso 5.4.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$y' = \frac{y \cdot y}{y \cdot 4} + \frac{- 3}{4 y}$

Paso 5.4.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{y}{4} + \frac{- 3}{4 y}$

Paso 5.4.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = \frac{y}{4} - \frac{3}{4 y}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{4} - \frac{3}{4 y}$