Cálculo Ejemplos

$\sqrt{y} = 2 x^{4} y + \frac{5}{x^{2}}$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{y}$ como $y^{\frac{1}{2}}$ .

$y^{\frac{1}{2}} = 2 x^{4} y + \frac{5}{x^{2}}$

Paso 2

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (2 x^{4} y + \frac{5}{x^{2}})$

Paso 3

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.3

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.5.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.5.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.7

Combina $\frac{1}{2}$ y $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.8

Mueve $y^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.9

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}} y'$

Paso 3.10

Combina $\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ y $y'$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x^{4} y + \frac{5}{x^{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x^{4} y] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{4} y] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{2}}]$

Paso 4.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x^{4} y]$ .

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Paso 4.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{4} y$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{4} y]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{4} y] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{2}}]$

Paso 4.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{4}$ y $g (x) = y$ .

$2 (x^{4} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{2}}]$

Paso 4.2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 (x^{4} y' + y \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{2}}]$

Paso 4.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$2 (x^{4} y' + y (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{2}}]$

Paso 4.2.5

Mueve $4$ a la izquierda de $y$ .

$2 (x^{4} y' + 4 y x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{2}}]$

Paso 4.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{2}}]$ .

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Paso 4.3.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{5}{x^{2}}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$2 (x^{4} y' + 4 y x^{3}) + 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Paso 4.3.2

Reescribe $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$2 (x^{4} y' + 4 y x^{3}) + 5 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Paso 4.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{2}$ .

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Paso 4.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2}$ .

$2 (x^{4} y' + 4 y x^{3}) + 5 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 4.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$2 (x^{4} y' + 4 y x^{3}) + 5 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 4.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$2 (x^{4} y' + 4 y x^{3}) + 5 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 4.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 (x^{4} y' + 4 y x^{3}) + 5 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Paso 4.3.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Paso 4.3.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (x^{4} y' + 4 y x^{3}) + 5 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Paso 4.3.5.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$2 (x^{4} y' + 4 y x^{3}) + 5 (- x^{- 4} (2 x))$

Paso 4.3.6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$2 (x^{4} y' + 4 y x^{3}) + 5 (- 2 x^{- 4} x)$

Paso 4.3.7

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$2 (x^{4} y' + 4 y x^{3}) + 5 (- 2 (x^{1} x^{- 4}))$

Paso 4.3.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 (x^{4} y' + 4 y x^{3}) + 5 (- 2 x^{1 - 4})$

Paso 4.3.9

Resta $4$ de $1$ .

$2 (x^{4} y' + 4 y x^{3}) + 5 (- 2 x^{- 3})$

Paso 4.3.10

Multiplica $- 2$ por $5$ .

$2 (x^{4} y' + 4 y x^{3}) - 10 x^{- 3}$

Paso 4.4

Simplifica.

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Paso 4.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (x^{4} y' + 4 y x^{3}) - 10 \frac{1}{x^{3}}$

Paso 4.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (x^{4} y') + 2 (4 y x^{3}) - 10 \frac{1}{x^{3}}$

Paso 4.4.3

Combina los términos.

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Paso 4.4.3.1

Multiplica $4$ por $2$ .

$2 x^{4} y' + 8 (y x^{3}) - 10 \frac{1}{x^{3}}$

Paso 4.4.3.2

Combina $- 10$ y $\frac{1}{x^{3}}$ .

$2 x^{4} y' + 8 y x^{3} + \frac{- 10}{x^{3}}$

Paso 4.4.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$2 x^{4} y' + 8 y x^{3} - \frac{10}{x^{3}}$

Paso 4.4.4

Reordena los términos.

$2 x^{4} y' + 8 x^{3} y - \frac{10}{x^{3}}$

Paso 5

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} = 2 x^{4} y' + 8 x^{3} y - \frac{10}{x^{3}}$

Paso 6

Resuelve $y'$

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Paso 6.1

Multiplica ambos lados por $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}}) = (2 x^{4} y' + 8 x^{3} y - \frac{10}{x^{3}}) (2 y^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.2

Simplifica.

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Paso 6.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.1.1

Simplifica $\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$ .

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Paso 6.2.1.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = (2 x^{4} y' + 8 x^{3} y - \frac{10}{x^{3}}) (2 y^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = (2 x^{4} y' + 8 x^{3} y - \frac{10}{x^{3}}) (2 y^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = (2 x^{4} y' + 8 x^{3} y - \frac{10}{x^{3}}) (2 y^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.2.1.1.3

Cancela el factor común de $y^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 6.2.1.1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = (2 x^{4} y' + 8 x^{3} y - \frac{10}{x^{3}}) (2 y^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.2.1.1.3.2

Reescribe la expresión.

$y' = (2 x^{4} y' + 8 x^{3} y - \frac{10}{x^{3}}) (2 y^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.2.1

Simplifica $(2 x^{4} y' + 8 x^{3} y - \frac{10}{x^{3}}) (2 y^{\frac{1}{2}})$ .

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Paso 6.2.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y' = 2 x^{4} y' (2 y^{\frac{1}{2}}) + 8 x^{3} y (2 y^{\frac{1}{2}}) - \frac{10}{x^{3}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.2.2.1.2

Simplifica.

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Paso 6.2.2.1.2.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$y' = 4 x^{4} y' y^{\frac{1}{2}} + 8 x^{3} y (2 y^{\frac{1}{2}}) - \frac{10}{x^{3}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.2.2.1.2.2

Multiplica $y$ por $y^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.2.2.1.2.2.1

Mueve $y^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = 4 x^{4} y' y^{\frac{1}{2}} + 8 x^{3} (y^{\frac{1}{2}} y) \cdot 2 - \frac{10}{x^{3}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.2.2.1.2.2.2

Multiplica $y^{\frac{1}{2}}$ por $y$ .

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Paso 6.2.2.1.2.2.2.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$y' = 4 x^{4} y' y^{\frac{1}{2}} + 8 x^{3} (y^{\frac{1}{2}} y^{1}) \cdot 2 - \frac{10}{x^{3}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.2.2.1.2.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y' = 4 x^{4} y' y^{\frac{1}{2}} + 8 x^{3} y^{\frac{1}{2} + 1} \cdot 2 - \frac{10}{x^{3}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.2.2.1.2.2.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$y' = 4 x^{4} y' y^{\frac{1}{2}} + 8 x^{3} y^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} \cdot 2 - \frac{10}{x^{3}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.2.2.1.2.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = 4 x^{4} y' y^{\frac{1}{2}} + 8 x^{3} y^{\frac{1 + 2}{2}} \cdot 2 - \frac{10}{x^{3}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.2.2.1.2.2.5

Suma $1$ y $2$ .

$y' = 4 x^{4} y' y^{\frac{1}{2}} + 8 x^{3} y^{\frac{3}{2}} \cdot 2 - \frac{10}{x^{3}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.2.2.1.2.3

Multiplica $- \frac{10}{x^{3}} (2 y^{\frac{1}{2}})$ .

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Paso 6.2.2.1.2.3.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$y' = 4 x^{4} y' y^{\frac{1}{2}} + 8 x^{3} y^{\frac{3}{2}} \cdot 2 - 2 \frac{10}{x^{3}} y^{\frac{1}{2}}$

Paso 6.2.2.1.2.3.2

Combina $- 2$ y $\frac{10}{x^{3}}$ .

$y' = 4 x^{4} y' y^{\frac{1}{2}} + 8 x^{3} y^{\frac{3}{2}} \cdot 2 + \frac{- 2 \cdot 10}{x^{3}} y^{\frac{1}{2}}$

Paso 6.2.2.1.2.3.3

Multiplica $- 2$ por $10$ .

$y' = 4 x^{4} y' y^{\frac{1}{2}} + 8 x^{3} y^{\frac{3}{2}} \cdot 2 + \frac{- 20}{x^{3}} y^{\frac{1}{2}}$

Paso 6.2.2.1.2.3.4

Combina $\frac{- 20}{x^{3}}$ y $y^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = 4 x^{4} y' y^{\frac{1}{2}} + 8 x^{3} y^{\frac{3}{2}} \cdot 2 + \frac{- 20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}}$

Paso 6.2.2.1.3

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.2.1.3.1

Multiplica $2$ por $8$ .

$y' = 4 x^{4} y' y^{\frac{1}{2}} + 16 x^{3} y^{\frac{3}{2}} + \frac{- 20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}}$

Paso 6.2.2.1.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = 4 x^{4} y' y^{\frac{1}{2}} + 16 x^{3} y^{\frac{3}{2}} - \frac{20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}}$

Paso 6.2.2.1.4

Mueve $x^{4}$ .

$y' = 4 y' x^{4} y^{\frac{1}{2}} + 16 x^{3} y^{\frac{3}{2}} - \frac{20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}}$

Paso 6.3

Resuelve $y'$

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Paso 6.3.1

Resta $4 y' x^{4} y^{\frac{1}{2}}$ de ambos lados de la ecuación.

$y' - 4 y' x^{4} y^{\frac{1}{2}} = 16 x^{3} y^{\frac{3}{2}} - \frac{20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}}$

Paso 6.3.2

Obtén un factor común $y^{\frac{1}{2}}$ que esté presente en cada término.

${({y'}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4 {(y' x y^{\frac{1}{2}})}^{9} - 16 {(x y^{\frac{1}{2}})}^{9} + \frac{20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}}$

Paso 6.3.3

Sustituye $u$ por $y^{\frac{1}{2}}$ .

${({y'}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4 {(y' x u)}^{9} - 16 {(x (u))}^{9} + \frac{20 (u)}{x^{3}} = 0$

Paso 6.3.4

Sustituye $y'$ por $u$ .

${({y'}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4 {(y' x y^{\frac{1}{2}})}^{9} - 16 {(x (y^{\frac{1}{2}}))}^{9} + \frac{20 (y^{\frac{1}{2}})}{x^{3}} = 0$

Paso 6.3.5

Factoriza $y'$ de $y' - 4 y' x^{4} y^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 6.3.5.1

Eleva $y'$ a la potencia de $1$ .

$y' - 4 y' x^{4} y^{\frac{1}{2}} = 16 x^{3} y^{\frac{3}{2}} - \frac{20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}}$

Paso 6.3.5.2

Factoriza $y'$ de ${y'}^{1}$ .

$y' \cdot 1 - 4 y' x^{4} y^{\frac{1}{2}} = 16 x^{3} y^{\frac{3}{2}} - \frac{20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}}$

Paso 6.3.5.3

Factoriza $y'$ de $- 4 y' x^{4} y^{\frac{1}{2}}$ .

$y' \cdot 1 + y' (- 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}}) = 16 x^{3} y^{\frac{3}{2}} - \frac{20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}}$

Paso 6.3.5.4

Factoriza $y'$ de $y' \cdot 1 + y' (- 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})$ .

$y' (1 - 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}}) = 16 x^{3} y^{\frac{3}{2}} - \frac{20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}}$

Paso 6.3.6

Divide cada término en $y' (1 - 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}}) = 16 x^{3} y^{\frac{3}{2}} - \frac{20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}}$ por $1 - 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}}$ y simplifica.

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Paso 6.3.6.1

Divide cada término en $y' (1 - 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}}) = 16 x^{3} y^{\frac{3}{2}} - \frac{20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}}$ por $1 - 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y' (1 - 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})}{1 - 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}}} = \frac{16 x^{3} y^{\frac{3}{2}}}{1 - 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}}} + \frac{- \frac{20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}}}{1 - 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}}}$

Paso 6.3.6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.6.2.1

Cancela el factor común.

Paso 6.3.6.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{16 x^{3} y^{\frac{3}{2}}}{1 - 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}}} + \frac{- \frac{20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}}}{1 - 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}}}$

Paso 6.3.6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.6.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{16 x^{3} y^{\frac{3}{2}} - \frac{20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}}}{1 - 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}}}$

Paso 6.3.6.3.2

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x^{3}$ .

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Paso 6.3.6.3.2.1

Multiplica $\frac{16 x^{3} y^{\frac{3}{2}} - \frac{20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}}}{1 - 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{x^{3}}{x^{3}}$ .

$y' = \frac{x^{3}}{x^{3}} \cdot \frac{16 x^{3} y^{\frac{3}{2}} - \frac{20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}}}{1 - 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}}}$

Paso 6.3.6.3.2.2

Combinar.

$y' = \frac{x^{3} (16 x^{3} y^{\frac{3}{2}} - \frac{20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}})}{x^{3} (1 - 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})}$

Paso 6.3.6.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y' = \frac{x^{3} (16 x^{3} y^{\frac{3}{2}}) + x^{3} (- \frac{20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}})}{x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})}$

Paso 6.3.6.3.4

Cancela el factor común de $x^{3}$ .

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Paso 6.3.6.3.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}}$ al numerador.

$y' = \frac{x^{3} (16 x^{3} y^{\frac{3}{2}}) + x^{3} \frac{- 20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}}}{x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})}$

Paso 6.3.6.3.4.2

Cancela el factor común.

$y' = \frac{x^{3} (16 x^{3} y^{\frac{3}{2}}) + x^{3} \frac{- 20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3}}}{x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})}$

Paso 6.3.6.3.4.3

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{x^{3} (16 x^{3} y^{\frac{3}{2}}) - 20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})}$

Paso 6.3.6.3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 6.3.6.3.5.1

Factoriza $4 y^{\frac{1}{2}}$ de $x^{3} (16 x^{3} y^{\frac{3}{2}}) - 20 y^{\frac{1}{2}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.6.3.5.1.1

Reordena la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.6.3.5.1.1.1

Mueve los paréntesis.

$y' = \frac{x^{3} (16 x^{3}) y^{\frac{3}{2}} - 20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})}$

Paso 6.3.6.3.5.1.1.2

Reordena $x^{3}$ y $16$ .

$y' = \frac{16 \cdot x^{3} x^{3} y^{\frac{3}{2}} - 20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})}$

Paso 6.3.6.3.5.1.2

Factoriza $4 y^{\frac{1}{2}}$ de $16 \cdot x^{3} x^{3} y^{\frac{3}{2}}$ .

$y' = \frac{4 y^{\frac{1}{2}} (4 \cdot x^{3} x^{3} y^{\frac{2}{2}}) - 20 y^{\frac{1}{2}}}{x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})}$

Paso 6.3.6.3.5.1.3

Factoriza $4 y^{\frac{1}{2}}$ de $- 20 y^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{4 y^{\frac{1}{2}} (4 \cdot x^{3} x^{3} y^{\frac{2}{2}}) + 4 y^{\frac{1}{2}} (- 5)}{x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})}$

Paso 6.3.6.3.5.1.4

Factoriza $4 y^{\frac{1}{2}}$ de $4 y^{\frac{1}{2}} (4 \cdot x^{3} x^{3} y^{\frac{2}{2}}) + 4 y^{\frac{1}{2}} (- 5)$ .

$y' = \frac{4 y^{\frac{1}{2}} (4 \cdot x^{3} x^{3} y^{\frac{2}{2}} - 5)}{x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})}$

Paso 6.3.6.3.5.2

Multiplica $x^{3}$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.3.6.3.5.2.1

Mueve $x^{3}$ .

$y' = \frac{4 y^{\frac{1}{2}} (4 \cdot (x^{3} x^{3}) y^{\frac{2}{2}} - 5)}{x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})}$

Paso 6.3.6.3.5.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y' = \frac{4 y^{\frac{1}{2}} (4 \cdot x^{3 + 3} y^{\frac{2}{2}} - 5)}{x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})}$

Paso 6.3.6.3.5.2.3

Suma $3$ y $3$ .

$y' = \frac{4 y^{\frac{1}{2}} (4 \cdot x^{6} y^{\frac{2}{2}} - 5)}{x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})}$

Paso 6.3.6.3.5.3

Simplifica cada término.

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Paso 6.3.6.3.5.3.1

Divide $2$ por $2$ .

$y' = \frac{4 y^{\frac{1}{2}} (4 x^{6} y^{1} - 5)}{x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})}$

Paso 6.3.6.3.5.3.2

Simplifica.

$y' = \frac{4 y^{\frac{1}{2}} (4 x^{6} y - 5)}{x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})}$

Paso 6.3.6.3.6

Factoriza $x^{3}$ de $x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})$ .

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Paso 6.3.6.3.6.1

Factoriza $x^{3}$ de $x^{3} \cdot 1$ .

$y' = \frac{4 y^{\frac{1}{2}} (4 x^{6} y - 5)}{x^{3} (1) + x^{3} (- 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})}$

Paso 6.3.6.3.6.2

Factoriza $x^{3}$ de $x^{3} (1) + x^{3} (- 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})$ .

$y' = \frac{4 y^{\frac{1}{2}} (4 x^{6} y - 5)}{x^{3} (1 - 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})}$

Paso 7

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 y^{\frac{1}{2}} (4 x^{6} y - 5)}{x^{3} (1 - 4 x^{4} y^{\frac{1}{2}})}$