Cálculo Ejemplos

$- x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}} = 1$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (- x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}}) = \frac{d}{d x} (1)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{2}{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{2}{3}}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{\frac{2}{3}}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{2}{3}}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{2}{3}$ .

$- (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [y^{\frac{2}{3}}]$

Paso 2.2.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$- (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [y^{\frac{2}{3}}]$

Paso 2.2.4

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$- (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [y^{\frac{2}{3}}]$

Paso 2.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [y^{\frac{2}{3}}]$

Paso 2.2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.6.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$- (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [y^{\frac{2}{3}}]$

Paso 2.2.6.2

Resta $3$ de $2$ .

$- (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}) + \frac{d}{d x} [y^{\frac{2}{3}}]$

Paso 2.2.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} [y^{\frac{2}{3}}]$

Paso 2.2.8

Combina $\frac{2}{3}$ y $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$- \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{2}{3}}]$

Paso 2.2.9

Mueve $x^{- \frac{1}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{2}{3}}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [y^{\frac{2}{3}}]$ .

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Paso 2.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.3.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{2}{3}$ .

$- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{2}{3} y^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.3.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{2}{3} y^{\frac{2}{3} - 1} y'$

Paso 2.3.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{2}{3} y^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} y'$

Paso 2.3.4

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{2}{3} y^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} y'$

Paso 2.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{2}{3} y^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} y'$

Paso 2.3.6

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.6.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{2}{3} y^{\frac{2 - 3}{3}} y'$

Paso 2.3.6.2

Resta $3$ de $2$ .

$- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{2}{3} y^{\frac{- 1}{3}} y'$

Paso 2.3.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{2}{3} y^{- \frac{1}{3}} y'$

Paso 2.3.8

Combina $\frac{2}{3}$ y $y^{- \frac{1}{3}}$ .

$- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{2 y^{- \frac{1}{3}}}{3} y'$

Paso 2.3.9

Combina $\frac{2 y^{- \frac{1}{3}}}{3}$ y $y'$ .

$- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{2 y^{- \frac{1}{3}} y'}{3}$

Paso 2.3.10

Mueve $y^{- \frac{1}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{2 y'}{3 y^{\frac{1}{3}}}$

Paso 2.4

Reordena los términos.

$\frac{2 y'}{3 y^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$\frac{2 y'}{3 y^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Suma $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{2 y'}{3 y^{\frac{1}{3}}} = \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 5.2

Multiplica ambos lados por $3 y^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{2 y'}{3 y^{\frac{1}{3}}} (3 y^{\frac{1}{3}}) = \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 y^{\frac{1}{3}})$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.1.1

Simplifica $\frac{2 y'}{3 y^{\frac{1}{3}}} (3 y^{\frac{1}{3}})$ .

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Paso 5.3.1.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$3 \frac{2 y'}{3 y^{\frac{1}{3}}} y^{\frac{1}{3}} = \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 y^{\frac{1}{3}})$

Paso 5.3.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.3.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$3 \frac{2 y'}{3 y^{\frac{1}{3}}} y^{\frac{1}{3}} = \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 y^{\frac{1}{3}})$

Paso 5.3.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2 y'}{y^{\frac{1}{3}}} y^{\frac{1}{3}} = \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 y^{\frac{1}{3}})$

Paso 5.3.1.1.3

Cancela el factor común de $y^{\frac{1}{3}}$ .

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Paso 5.3.1.1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y'}{y^{\frac{1}{3}}} y^{\frac{1}{3}} = \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 y^{\frac{1}{3}})$

Paso 5.3.1.1.3.2

Reescribe la expresión.

$2 y' = \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 y^{\frac{1}{3}})$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.2.1

Simplifica $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 y^{\frac{1}{3}})$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 y' = 3 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} y^{\frac{1}{3}}$

Paso 5.3.2.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.3.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$2 y' = 3 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} y^{\frac{1}{3}}$

Paso 5.3.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$2 y' = \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} y^{\frac{1}{3}}$

Paso 5.3.2.1.3

Combina $\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$ y $y^{\frac{1}{3}}$ .

$2 y' = \frac{2 y^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 5.4

Divide cada término en $2 y' = \frac{2 y^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}$ por $2$ y simplifica.

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Paso 5.4.1

Divide cada término en $2 y' = \frac{2 y^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}$ por $2$ .

$\frac{2 y'}{2} = \frac{\frac{2 y^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}}{2}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y'}{2} = \frac{\frac{2 y^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}}{2}$

Paso 5.4.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{\frac{2 y^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}}{2}$

Paso 5.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$y' = \frac{2 y^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 5.4.3.2

Combinar.

$y' = \frac{2 y^{\frac{1}{3}} \cdot 1}{x^{\frac{1}{3}} \cdot 2}$

Paso 5.4.3.3

Cancela el factor común.

$y' = \frac{2 y^{\frac{1}{3}} \cdot 1}{x^{\frac{1}{3}} \cdot 2}$

Paso 5.4.3.4

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{y^{\frac{1}{3}} \cdot 1}{x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 5.4.3.5

Multiplica $y^{\frac{1}{3}}$ por $1$ .

$y' = \frac{y^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}$