Cálculo Ejemplos

x^{3} - y^{3} = 7

$x^{3} - y^{3} = 7$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

\frac{d}{d x} (x^{3} - y^{3}) = \frac{d}{d x} (7)

$\frac{d}{d x} (x^{3} - y^{3}) = \frac{d}{d x} (7)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de

x^{3} - y^{3}

$x^{3} - y^{3}$ con respecto a

x

$x$ es

\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$ .

\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ donde

n = 3

$n = 3$ .

3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- y^{3}]

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- y^{3}]

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Paso 2.2

Evalúa

\frac{d}{d x} [- y^{3}]

$\frac{d}{d x} [- y^{3}]$ .

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Paso 2.2.1

Como

- 1

$- 1$ es constante con respecto a

x

$x$ , la derivada de

- y^{3}

$- y^{3}$ con respecto a

x

$x$ es

- \frac{d}{d x} [y^{3}]

$- \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

3 x^{2} - \frac{d}{d x} [y^{3}]

$3 x^{2} - \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que

\frac{d}{d x} [f (g (x))]

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es

$f' (g (x)) g' (x)$ donde

$f (x) = x^{3}$ y

$g (x) = y$ .

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Paso 2.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece

$u$ como

$y$ .

$3 x^{2} - (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que

$\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es

$n u^{n - 1}$ donde

$n = 3$ .

$3 x^{2} - (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.2.2.3

Reemplaza todos los casos de

$u$ con

$y$ .

$3 x^{2} - (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.2.3

Reescribe

$\frac{d}{d x} [y]$ como

$y'$ .

$3 x^{2} - (3 y^{2} y')$

Paso 2.2.4

Multiplica

$3$ por

$- 1$ .

$3 x^{2} - 3 y^{2} y'$

Paso 3

Como

$7$ es constante con respecto a

$x$ , la derivada de

$7$ con respecto a

$x$ es

$0$ .

$0$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$3 x^{2} - 3 y^{2} y' = 0$

Paso 5

Resuelve

$y'$

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Paso 5.1

Resta

$3 x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$- 3 y^{2} y' = - 3 x^{2}$

Paso 5.2

Divide cada término en

$- 3 y^{2} y' = - 3 x^{2}$ por

$- 3 y^{2}$ y simplifica.

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Paso 5.2.1

Divide cada término en

$- 3 y^{2} y' = - 3 x^{2}$ por

$- 3 y^{2}$ .

$\frac{- 3 y^{2} y'}{- 3 y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{- 3 y^{2}}$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.1

Cancela el factor común de

$- 3$ .

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Paso 5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 3 y^{2} y'}{- 3 y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{- 3 y^{2}}$

Paso 5.2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{- 3 y^{2}}$

Paso 5.2.2.2

Cancela el factor común de

$y^{2}$ .

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Paso 5.2.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{- 3 y^{2}}$

Paso 5.2.2.2.2

Divide

$y'$ por

$1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{- 3 y^{2}}$

Paso 5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.3.1

Cancela el factor común de

$- 3$ .

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Paso 5.2.3.1.1

Cancela el factor común.

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{- 3 y^{2}}$

Paso 5.2.3.1.2

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{x^{2}}{y^{2}}$

Paso 6

Reemplaza

$y'$ con

$\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{y^{2}}$