Cálculo Ejemplos

$6 \sin (x) + \cos (y) = \sin (x) \cos (y)$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (6 \sin (x) + \cos (y)) = \frac{d}{d x} (\sin (x) \cos (y))$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $6 \sin (x) + \cos (y)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [6 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (y)]$ .

$\frac{d}{d x} [6 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (y)]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [6 \sin (x)]$ .

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Paso 2.2.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 \sin (x)$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (y)]$

Paso 2.2.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$6 \cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (y)]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\cos (y)]$ .

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Paso 2.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$6 \cos (x) + \frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.3.1.2

La derivada de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $- \sin (u)$ .

$6 \cos (x) - \sin (u) \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$6 \cos (x) - \sin (y) \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.3.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$6 \cos (x) - \sin (y) y'$

Paso 2.4

Reordena los términos.

$- \sin (y) y' + 6 \cos (x)$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = \cos (y)$ .

$\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (y)] + \cos (y) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = y$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$\sin (x) (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 3.2.2

La derivada de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $- \sin (u)$ .

$\sin (x) (- \sin (u) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$\sin (x) (- \sin (y) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 3.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\sin (x) (- \sin (y) y') + \cos (y) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 3.4

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$\sin (x) (- \sin (y) y') + \cos (y) \cos (x)$

Paso 3.5

Reordena los términos.

$- \sin (x) \sin (y) y' + \cos (x) \cos (y)$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$- \sin (y) y' + 6 \cos (x) = - \sin (x) \sin (y) y' + \cos (x) \cos (y)$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.1.1

Reordena los factores en $- \sin (y) y' + 6 \cos (x)$ .

$- y' \sin (y) + 6 \cos (x) = - \sin (x) \sin (y) y' + \cos (x) \cos (y)$

Paso 5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.1

Reordena los factores en $- \sin (x) \sin (y) y' + \cos (x) \cos (y)$ .

$- y' \sin (y) + 6 \cos (x) = - y' \sin (x) \sin (y) + \cos (x) \cos (y)$

Paso 5.3

Suma $y' \sin (x) \sin (y)$ a ambos lados de la ecuación.

$- y' \sin (y) + 6 \cos (x) + y' \sin (x) \sin (y) = \cos (x) \cos (y)$

Paso 5.4

Resta $6 \cos (x)$ de ambos lados de la ecuación.

$- y' \sin (y) + y' \sin (x) \sin (y) = \cos (x) \cos (y) - 6 \cos (x)$

Paso 5.5

Factoriza $y' \sin (y)$ de $- y' \sin (y) + y' \sin (x) \sin (y)$ .

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Paso 5.5.1

Factoriza $y' \sin (y)$ de $- y' \sin (y)$ .

$y' \sin (y) \cdot - 1 + y' \sin (x) \sin (y) = \cos (x) \cos (y) - 6 \cos (x)$

Paso 5.5.2

Factoriza $y' \sin (y)$ de $y' \sin (x) \sin (y)$ .

$y' \sin (y) \cdot - 1 + y' \sin (y) \sin (x) = \cos (x) \cos (y) - 6 \cos (x)$

Paso 5.5.3

Factoriza $y' \sin (y)$ de $y' \sin (y) \cdot - 1 + y' \sin (y) \sin (x)$ .

$y' \sin (y) (- 1 + \sin (x)) = \cos (x) \cos (y) - 6 \cos (x)$

Paso 5.6

Divide cada término en $y' \sin (y) (- 1 + \sin (x)) = \cos (x) \cos (y) - 6 \cos (x)$ por $\sin (y) (- 1 + \sin (x))$ y simplifica.

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Paso 5.6.1

Divide cada término en $y' \sin (y) (- 1 + \sin (x)) = \cos (x) \cos (y) - 6 \cos (x)$ por $\sin (y) (- 1 + \sin (x))$ .

$\frac{y' \sin (y) (- 1 + \sin (x))}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))} = \frac{\cos (x) \cos (y)}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))} + \frac{- 6 \cos (x)}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

Paso 5.6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.6.2.1

Cancela el factor común de $\sin (y)$ .

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Paso 5.6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' \sin (y) (- 1 + \sin (x))}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))} = \frac{\cos (x) \cos (y)}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))} + \frac{- 6 \cos (x)}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

Paso 5.6.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' (- 1 + \sin (x))}{- 1 + \sin (x)} = \frac{\cos (x) \cos (y)}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))} + \frac{- 6 \cos (x)}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

Paso 5.6.2.2

Cancela el factor común de $- 1 + \sin (x)$ .

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Paso 5.6.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (- 1 + \sin (x))}{- 1 + \sin (x)} = \frac{\cos (x) \cos (y)}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))} + \frac{- 6 \cos (x)}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

Paso 5.6.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y)}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))} + \frac{- 6 \cos (x)}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

Paso 5.6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.6.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.6.3.1.1

Separa las fracciones.

$y' = \frac{\cos (y)}{- 1 + \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (y)} + \frac{- 6 \cos (x)}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

Paso 5.6.3.1.2

Reescribe $\frac{\cos (x)}{\sin (y)}$ como un producto.

$y' = \frac{\cos (y)}{- 1 + \sin (x)} (\cos (x) \frac{1}{\sin (y)}) + \frac{- 6 \cos (x)}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

Paso 5.6.3.1.3

Escribe $\cos (x)$ como una fracción con el denominador $1$ .

$y' = \frac{\cos (y)}{- 1 + \sin (x)} (\frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (y)}) + \frac{- 6 \cos (x)}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

Paso 5.6.3.1.4

Simplifica.

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Paso 5.6.3.1.4.1

Divide $\cos (x)$ por $1$ .

$y' = \frac{\cos (y)}{- 1 + \sin (x)} (\cos (x) \frac{1}{\sin (y)}) + \frac{- 6 \cos (x)}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

Paso 5.6.3.1.4.2

Convierte de $\frac{1}{\sin (y)}$ a $\csc (y)$ .

$y' = \frac{\cos (y)}{- 1 + \sin (x)} (\cos (x) \csc (y)) + \frac{- 6 \cos (x)}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

Paso 5.6.3.1.5

Multiplica $\frac{\cos (y)}{- 1 + \sin (x)} (\cos (x) \csc (y))$ .

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Paso 5.6.3.1.5.1

Combina $\cos (x)$ y $\frac{\cos (y)}{- 1 + \sin (x)}$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y)}{- 1 + \sin (x)} \csc (y) + \frac{- 6 \cos (x)}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

Paso 5.6.3.1.5.2

Combina $\frac{\cos (x) \cos (y)}{- 1 + \sin (x)}$ y $\csc (y)$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 1 + \sin (x)} + \frac{- 6 \cos (x)}{\sin (y) (- 1 + \sin (x))}$

Paso 5.6.3.1.6

Separa las fracciones.

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 1 + \sin (x)} + \frac{- 6}{- 1 + \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (y)}$

Paso 5.6.3.1.7

Reescribe $\frac{\cos (x)}{\sin (y)}$ como un producto.

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 1 + \sin (x)} + \frac{- 6}{- 1 + \sin (x)} (\cos (x) \frac{1}{\sin (y)})$

Paso 5.6.3.1.8

Escribe $\cos (x)$ como una fracción con el denominador $1$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 1 + \sin (x)} + \frac{- 6}{- 1 + \sin (x)} (\frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (y)})$

Paso 5.6.3.1.9

Simplifica.

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Paso 5.6.3.1.9.1

Divide $\cos (x)$ por $1$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 1 + \sin (x)} + \frac{- 6}{- 1 + \sin (x)} (\cos (x) \frac{1}{\sin (y)})$

Paso 5.6.3.1.9.2

Convierte de $\frac{1}{\sin (y)}$ a $\csc (y)$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 1 + \sin (x)} + \frac{- 6}{- 1 + \sin (x)} (\cos (x) \csc (y))$

Paso 5.6.3.1.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 1 + \sin (x)} - \frac{6}{- 1 + \sin (x)} (\cos (x) \csc (y))$

Paso 5.6.3.1.11

Multiplica $- \frac{6}{- 1 + \sin (x)} (\cos (x) \csc (y))$ .

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Paso 5.6.3.1.11.1

Combina $\cos (x)$ y $\frac{6}{- 1 + \sin (x)}$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 1 + \sin (x)} - \frac{\cos (x) \cdot 6}{- 1 + \sin (x)} \csc (y)$

Paso 5.6.3.1.11.2

Combina $\csc (y)$ y $\frac{\cos (x) \cdot 6}{- 1 + \sin (x)}$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 1 + \sin (x)} - \frac{\csc (y) (\cos (x) \cdot 6)}{- 1 + \sin (x)}$

Paso 5.6.3.1.12

Mueve $6$ a la izquierda de $\csc (y) \cos (x)$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y)}{- 1 + \sin (x)} - \frac{6 \csc (y) \cos (x)}{- 1 + \sin (x)}$

Paso 5.6.3.2

Simplifica los términos.

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Paso 5.6.3.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \csc (y) - 6 \csc (y) \cos (x)}{- 1 + \sin (x)}$

Paso 5.6.3.2.2

Factoriza $\cos (x) \csc (y)$ de $\cos (x) \cos (y) \csc (y) - 6 \csc (y) \cos (x)$ .

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Paso 5.6.3.2.2.1

Factoriza $\cos (x) \csc (y)$ de $\cos (x) \cos (y) \csc (y)$ .

$y' = \frac{\cos (x) \csc (y) (\cos (y)) - 6 \csc (y) \cos (x)}{- 1 + \sin (x)}$

Paso 5.6.3.2.2.2

Factoriza $\cos (x) \csc (y)$ de $- 6 \csc (y) \cos (x)$ .

$y' = \frac{\cos (x) \csc (y) (\cos (y)) + \cos (x) \csc (y) (- 6)}{- 1 + \sin (x)}$

Paso 5.6.3.2.2.3

Factoriza $\cos (x) \csc (y)$ de $\cos (x) \csc (y) (\cos (y)) + \cos (x) \csc (y) (- 6)$ .

$y' = \frac{\cos (x) \csc (y) (\cos (y) - 6)}{- 1 + \sin (x)}$

Paso 5.6.3.2.3

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$y' = \frac{\cos (x) \csc (y) (\cos (y) - 6)}{- 1 (1) + \sin (x)}$

Paso 5.6.3.2.4

Factoriza $- 1$ de $\sin (x)$ .

$y' = \frac{\cos (x) \csc (y) (\cos (y) - 6)}{- 1 (1) - 1 (- \sin (x))}$

Paso 5.6.3.2.5

Factoriza $- 1$ de $- 1 (1) - 1 (- \sin (x))$ .

$y' = \frac{\cos (x) \csc (y) (\cos (y) - 6)}{- 1 (1 - \sin (x))}$

Paso 5.6.3.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{\cos (x) \csc (y) (\cos (y) - 6)}{1 - \sin (x)}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{\cos (x) \csc (y) (\cos (y) - 6)}{1 - \sin (x)}$