Cálculo Ejemplos

$3 x + \ln (y) = x^{2} y^{5}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (3 x + \ln (y)) = \frac{d}{d x} (x^{2} y^{5})$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x + \ln (y)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\ln (y)]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\ln (y)]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Paso 2.2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (y)]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\ln (y)]$

Paso 2.2.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [\ln (y)]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\ln (y)]$ .

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Paso 2.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$3 + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.3.1.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$3 + \frac{1}{u} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$3 + \frac{1}{y} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.3.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 + \frac{1}{y} y'$

Paso 2.3.3

Combina $\frac{1}{y}$ y $y'$ .

$3 + \frac{y'}{y}$

Paso 2.4

Reordena los términos.

$\frac{y'}{y} + 3$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y^{5}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y^{5}] + y^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{5}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$x^{2} (5 u^{4} \frac{d}{d x} [y]) + y^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$x^{2} (5 y^{4} \frac{d}{d x} [y]) + y^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.3

Mueve $5$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$5 \cdot x^{2} y^{4} \frac{d}{d x} [y] + y^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.4

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$5 x^{2} y^{4} y' + y^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$5 x^{2} y^{4} y' + y^{5} (2 x)$

Paso 3.6

Reordena.

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Paso 3.6.1

Mueve $2$ a la izquierda de $y^{5}$ .

$5 x^{2} y^{4} y' + 2 \cdot y^{5} x$

Paso 3.6.2

Reordena los términos.

$5 y^{4} x^{2} y' + 2 y^{5} x$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$\frac{y'}{y} + 3 = 5 y^{4} x^{2} y' + 2 y^{5} x$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Resta $5 y^{4} x^{2} y'$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{y'}{y} + 3 - 5 y^{4} x^{2} y' = 2 y^{5} x$

Paso 5.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 5.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$y, 1, 1, 1$

Paso 5.2.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$y$

Paso 5.3

Multiplica cada término en $\frac{y'}{y} + 3 - 5 y^{4} x^{2} y' = 2 y^{5} x$ por $y$ para eliminar las fracciones.

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Paso 5.3.1

Multiplica cada término en $\frac{y'}{y} + 3 - 5 y^{4} x^{2} y' = 2 y^{5} x$ por $y$ .

$\frac{y'}{y} y + 3 y - 5 y^{4} x^{2} y' y = 2 y^{5} x y$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 5.3.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y'}{y} y + 3 y - 5 y^{4} x^{2} y' y = 2 y^{5} x y$

Paso 5.3.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$y' + 3 y - 5 y^{4} x^{2} y' y = 2 y^{5} x y$

Paso 5.3.2.1.2

Multiplica $y^{4}$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 5.3.2.1.2.1

Mueve $y$ .

$y' + 3 y - 5 (y \cdot y^{4}) x^{2} y' = 2 y^{5} x y$

Paso 5.3.2.1.2.2

Multiplica $y$ por $y^{4}$ .

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Paso 5.3.2.1.2.2.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$y' + 3 y - 5 (y^{1} y^{4}) x^{2} y' = 2 y^{5} x y$

Paso 5.3.2.1.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y' + 3 y - 5 y^{1 + 4} x^{2} y' = 2 y^{5} x y$

Paso 5.3.2.1.2.3

Suma $1$ y $4$ .

$y' + 3 y - 5 y^{5} x^{2} y' = 2 y^{5} x y$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Multiplica $y^{5}$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 5.3.3.1.1

Mueve $y$ .

$y' + 3 y - 5 y^{5} x^{2} y' = 2 (y \cdot y^{5}) x$

Paso 5.3.3.1.2

Multiplica $y$ por $y^{5}$ .

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Paso 5.3.3.1.2.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$y' + 3 y - 5 y^{5} x^{2} y' = 2 (y^{1} y^{5}) x$

Paso 5.3.3.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y' + 3 y - 5 y^{5} x^{2} y' = 2 y^{1 + 5} x$

Paso 5.3.3.1.3

Suma $1$ y $5$ .

$y' + 3 y - 5 y^{5} x^{2} y' = 2 y^{6} x$

Paso 5.4

Resuelve la ecuación.

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Paso 5.4.1

Resta $3 y$ de ambos lados de la ecuación.

$y' - 5 y^{5} x^{2} y' = 2 y^{6} x - 3 y$

Paso 5.4.2

Factoriza $y'$ de $y' - 5 y^{5} x^{2} y'$ .

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Paso 5.4.2.1

Factoriza $y'$ de ${y'}^{1}$ .

$y' \cdot 1 - 5 y^{5} x^{2} y' = 2 y^{6} x - 3 y$

Paso 5.4.2.2

Factoriza $y'$ de $- 5 y^{5} x^{2} y'$ .

$y' \cdot 1 + y' (- 5 y^{5} x^{2}) = 2 y^{6} x - 3 y$

Paso 5.4.2.3

Factoriza $y'$ de $y' \cdot 1 + y' (- 5 y^{5} x^{2})$ .

$y' (1 - 5 y^{5} x^{2}) = 2 y^{6} x - 3 y$

Paso 5.4.3

Divide cada término en $y' (1 - 5 y^{5} x^{2}) = 2 y^{6} x - 3 y$ por $1 - 5 y^{5} x^{2}$ y simplifica.

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Paso 5.4.3.1

Divide cada término en $y' (1 - 5 y^{5} x^{2}) = 2 y^{6} x - 3 y$ por $1 - 5 y^{5} x^{2}$ .

$\frac{y' (1 - 5 y^{5} x^{2})}{1 - 5 y^{5} x^{2}} = \frac{2 y^{6} x}{1 - 5 y^{5} x^{2}} + \frac{- 3 y}{1 - 5 y^{5} x^{2}}$

Paso 5.4.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.3.2.1

Cancela el factor común de $1 - 5 y^{5} x^{2}$ .

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Paso 5.4.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (1 - 5 y^{5} x^{2})}{1 - 5 y^{5} x^{2}} = \frac{2 y^{6} x}{1 - 5 y^{5} x^{2}} + \frac{- 3 y}{1 - 5 y^{5} x^{2}}$

Paso 5.4.3.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{2 y^{6} x}{1 - 5 y^{5} x^{2}} + \frac{- 3 y}{1 - 5 y^{5} x^{2}}$

Paso 5.4.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.3.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{2 y^{6} x - 3 y}{1 - 5 y^{5} x^{2}}$

Paso 5.4.3.3.2

Factoriza $y$ de $2 y^{6} x - 3 y$ .

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Paso 5.4.3.3.2.1

Factoriza $y$ de $2 y^{6} x$ .

$y' = \frac{y (2 y^{5} x) - 3 y}{1 - 5 y^{5} x^{2}}$

Paso 5.4.3.3.2.2

Factoriza $y$ de $- 3 y$ .

$y' = \frac{y (2 y^{5} x) + y \cdot - 3}{1 - 5 y^{5} x^{2}}$

Paso 5.4.3.3.2.3

Factoriza $y$ de $y (2 y^{5} x) + y \cdot - 3$ .

$y' = \frac{y (2 y^{5} x - 3)}{1 - 5 y^{5} x^{2}}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (2 y^{5} x - 3)}{1 - 5 y^{5} x^{2}}$