Cálculo Ejemplos

$2 x^{2} y - \frac{3}{y} = 0$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (2 x^{2} y - \frac{3}{y}) = \frac{d}{d x} (0)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x^{2} y - \frac{3}{y}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{y}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{y}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x^{2} y]$ .

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Paso 2.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{2} y$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{y}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

$2 (x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{y}]$

Paso 2.2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 (x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{y}]$

Paso 2.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 (x^{2} y' + y (2 x)) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{y}]$

Paso 2.2.5

Mueve $2$ a la izquierda de $y$ .

$2 (x^{2} y' + 2 y x) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{y}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{y}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{3}{y}$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}]$ .

$2 (x^{2} y' + 2 y x) - 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 1$ y $g (x) = y$ .

$2 (x^{2} y' + 2 y x) - 3 \frac{y \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Paso 2.3.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 (x^{2} y' + 2 y x) - 3 \frac{y \cdot 0 - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Paso 2.3.4

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 (x^{2} y' + 2 y x) - 3 \frac{y \cdot 0 - 1 \cdot 1 y'}{y^{2}}$

Paso 2.3.5

Multiplica $y$ por $0$ .

$2 (x^{2} y' + 2 y x) - 3 \frac{0 - 1 \cdot 1 y'}{y^{2}}$

Paso 2.3.6

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$2 (x^{2} y' + 2 y x) - 3 \frac{0 - y'}{y^{2}}$

Paso 2.3.7

Resta $y'$ de $0$ .

$2 (x^{2} y' + 2 y x) - 3 \frac{- y'}{y^{2}}$

Paso 2.3.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$2 (x^{2} y' + 2 y x) - 3 (- \frac{y'}{y^{2}})$

Paso 2.3.9

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$2 (x^{2} y' + 2 y x) + 3 \frac{y'}{y^{2}}$

Paso 2.3.10

Combina $3$ y $\frac{y'}{y^{2}}$ .

$2 (x^{2} y' + 2 y x) + \frac{3 y'}{y^{2}}$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (x^{2} y') + 2 (2 y x) + \frac{3 y'}{y^{2}}$

Paso 2.4.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$2 x^{2} y' + 4 y x + \frac{3 y'}{y^{2}}$

Paso 2.4.3

Reordena los términos.

$2 x^{2} y' + 4 x y + \frac{3 y'}{y^{2}}$

Paso 3

Como $0$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $0$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$2 x^{2} y' + 4 x y + \frac{3 y'}{y^{2}} = 0$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 5.1.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$1, 1, y^{2}, 1$

Paso 5.1.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$y^{2}$

Paso 5.2

Multiplica cada término en $2 x^{2} y' + 4 x y + \frac{3 y'}{y^{2}} = 0$ por $y^{2}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 5.2.1

Multiplica cada término en $2 x^{2} y' + 4 x y + \frac{3 y'}{y^{2}} = 0$ por $y^{2}$ .

$2 x^{2} y' y^{2} + 4 x y \cdot y^{2} + \frac{3 y'}{y^{2}} y^{2} = 0 y^{2}$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.2.1.1

Multiplica $y$ por $y^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.2.2.1.1.1

Mueve $y^{2}$ .

$2 x^{2} y' y^{2} + 4 x (y^{2} y) + \frac{3 y'}{y^{2}} y^{2} = 0 y^{2}$

Paso 5.2.2.1.1.2

Multiplica $y^{2}$ por $y$ .

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Paso 5.2.2.1.1.2.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$2 x^{2} y' y^{2} + 4 x (y^{2} y^{1}) + \frac{3 y'}{y^{2}} y^{2} = 0 y^{2}$

Paso 5.2.2.1.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 x^{2} y' y^{2} + 4 x y^{2 + 1} + \frac{3 y'}{y^{2}} y^{2} = 0 y^{2}$

Paso 5.2.2.1.1.3

Suma $2$ y $1$ .

$2 x^{2} y' y^{2} + 4 x y^{3} + \frac{3 y'}{y^{2}} y^{2} = 0 y^{2}$

Paso 5.2.2.1.2

Cancela el factor común de $y^{2}$ .

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Paso 5.2.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$2 x^{2} y' y^{2} + 4 x y^{3} + \frac{3 y'}{y^{2}} y^{2} = 0 y^{2}$

Paso 5.2.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$2 x^{2} y' y^{2} + 4 x y^{3} + 3 y' = 0 y^{2}$

Paso 5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.3.1

Multiplica $0$ por $y^{2}$ .

$2 x^{2} y' y^{2} + 4 x y^{3} + 3 y' = 0$

Paso 5.3

Resuelve la ecuación.

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Paso 5.3.1

Resta $4 x y^{3}$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x^{2} y' y^{2} + 3 y' = - 4 x y^{3}$

Paso 5.3.2

Factoriza $y'$ de $2 x^{2} y' y^{2} + 3 y'$ .

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Paso 5.3.2.1

Factoriza $y'$ de $2 x^{2} y' y^{2}$ .

$y' (2 x^{2} y^{2}) + 3 y' = - 4 x y^{3}$

Paso 5.3.2.2

Factoriza $y'$ de $3 y'$ .

$y' (2 x^{2} y^{2}) + y' \cdot 3 = - 4 x y^{3}$

Paso 5.3.2.3

Factoriza $y'$ de $y' (2 x^{2} y^{2}) + y' \cdot 3$ .

$y' (2 x^{2} y^{2} + 3) = - 4 x y^{3}$

Paso 5.3.3

Divide cada término en $y' (2 x^{2} y^{2} + 3) = - 4 x y^{3}$ por $2 x^{2} y^{2} + 3$ y simplifica.

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Paso 5.3.3.1

Divide cada término en $y' (2 x^{2} y^{2} + 3) = - 4 x y^{3}$ por $2 x^{2} y^{2} + 3$ .

$\frac{y' (2 x^{2} y^{2} + 3)}{2 x^{2} y^{2} + 3} = \frac{- 4 x y^{3}}{2 x^{2} y^{2} + 3}$

Paso 5.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.3.2.1

Cancela el factor común de $2 x^{2} y^{2} + 3$ .

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Paso 5.3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (2 x^{2} y^{2} + 3)}{2 x^{2} y^{2} + 3} = \frac{- 4 x y^{3}}{2 x^{2} y^{2} + 3}$

Paso 5.3.3.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 4 x y^{3}}{2 x^{2} y^{2} + 3}$

Paso 5.3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{4 x y^{3}}{2 x^{2} y^{2} + 3}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x y^{3}}{2 x^{2} y^{2} + 3}$