Cálculo Ejemplos

$\frac{y}{y - x} = x^{2} - 1$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (\frac{y}{y - x}) = \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = y$ y $g (x) = y - x$ .

$\frac{(y - x) \frac{d}{d x} [y] - y \frac{d}{d x} [y - x]}{{(y - x)}^{2}}$

Paso 2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{(y - x) y' - y \frac{d}{d x} [y - x]}{{(y - x)}^{2}}$

Paso 2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $y - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{(y - x) y' - y (\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(y - x)}^{2}}$

Paso 2.4

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{(y - x) y' - y (y' + \frac{d}{d x} [- x])}{{(y - x)}^{2}}$

Paso 2.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(y - x) y' - y (y' - \frac{d}{d x} [x])}{{(y - x)}^{2}}$

Paso 2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(y - x) y' - y (y' - 1 \cdot 1)}{{(y - x)}^{2}}$

Paso 2.7

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{(y - x) y' - y (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

Paso 2.8

Simplifica.

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Paso 2.8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{y y' - x y' - y (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

Paso 2.8.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{y y' - x y' - y y' - y \cdot - 1}{{(y - x)}^{2}}$

Paso 2.8.3

Simplifica el numerador.

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Paso 2.8.3.1

Combina los términos opuestos en $y y' - x y' - y y' - y \cdot - 1$ .

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Paso 2.8.3.1.1

Resta $y y'$ de $y y'$ .

$\frac{- x y' + 0 - y \cdot - 1}{{(y - x)}^{2}}$

Paso 2.8.3.1.2

Suma $- x y'$ y $0$ .

$\frac{- x y' - y \cdot - 1}{{(y - x)}^{2}}$

Paso 2.8.3.2

Multiplica $- y \cdot - 1$ .

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Paso 2.8.3.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{- x y' + 1 y}{{(y - x)}^{2}}$

Paso 2.8.3.2.2

Multiplica $y$ por $1$ .

$\frac{- x y' + y}{{(y - x)}^{2}}$

Paso 2.8.4

Reordena los términos.

$\frac{- x y' + y}{{(- x + y)}^{2}}$

Paso 2.8.5

Factoriza $- 1$ de $- x y'$ .

$\frac{- (x y') + y}{{(- x + y)}^{2}}$

Paso 2.8.6

Factoriza $- 1$ de $y$ .

$\frac{- (x y') - 1 (- y)}{{(- x + y)}^{2}}$

Paso 2.8.7

Factoriza $- 1$ de $- (x y') - 1 (- y)$ .

$\frac{- (x y' - y)}{{(- x + y)}^{2}}$

Paso 2.8.8

Reescribe $- (x y' - y)$ como $- 1 (x y' - y)$ .

$\frac{- 1 (x y' - y)}{{(- x + y)}^{2}}$

Paso 2.8.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}}$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 3.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 x + 0$

Paso 3.4

Suma $2 x$ y $0$ .

$2 x$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$- \frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}} = 2 x$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Divide cada término en $- \frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}} = 2 x$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 5.1.1

Divide cada término en $- \frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}} = 2 x$ por $- 1$ .

$\frac{- \frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}}}{- 1} = \frac{2 x}{- 1}$

Paso 5.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.1.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}}}{1} = \frac{2 x}{- 1}$

Paso 5.1.2.2

Divide $\frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}}$ por $1$ .

$\frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}} = \frac{2 x}{- 1}$

Paso 5.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.1.3.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{2 x}{- 1}$ .

$\frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}} = - 1 \cdot (2 x)$

Paso 5.1.3.2

Reescribe $- 1 \cdot (2 x)$ como $- (2 x)$ .

$\frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}} = - (2 x)$

Paso 5.1.3.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}} = - 2 x$

Paso 5.2

Multiplica ambos lados por ${(- x + y)}^{2}$ .

$\frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}} {(- x + y)}^{2} = - 2 x {(- x + y)}^{2}$

Paso 5.3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.1

Simplifica $\frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}} {(- x + y)}^{2}$ .

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Paso 5.3.1.1

Cancela el factor común de ${(- x + y)}^{2}$ .

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Paso 5.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}} {(- x + y)}^{2} = - 2 x {(- x + y)}^{2}$

Paso 5.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$x y' - y = - 2 x {(- x + y)}^{2}$

Paso 5.3.1.2

Reordena $x$ y $y'$ .

$y' x - y = - 2 x {(- x + y)}^{2}$

Paso 5.4

Resuelve $y'$

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Paso 5.4.1

Simplifica $- 2 x {(- x + y)}^{2}$ .

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Paso 5.4.1.1

Reescribe.

$y' x - y = 0 + 0 - 2 x {(- x + y)}^{2}$

Paso 5.4.1.2

Reescribe ${(- x + y)}^{2}$ como $(- x + y) (- x + y)$ .

$y' x - y = - 2 x ((- x + y) (- x + y))$

Paso 5.4.1.3

Expande $(- x + y) (- x + y)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.4.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y' x - y = - 2 x (- x (- x + y) + y (- x + y))$

Paso 5.4.1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y' x - y = - 2 x (- x (- x) - x y + y (- x + y))$

Paso 5.4.1.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y' x - y = - 2 x (- x (- x) - x y + y (- x) + y \cdot y)$

Paso 5.4.1.4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.4.1.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.4.1.4.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y' x - y = - 2 x (- 1 \cdot - 1 x \cdot x - x y + y (- x) + y \cdot y)$

Paso 5.4.1.4.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 5.4.1.4.1.2.1

Mueve $x$ .

$y' x - y = - 2 x (- 1 \cdot - 1 (x \cdot x) - x y + y (- x) + y \cdot y)$

Paso 5.4.1.4.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$y' x - y = - 2 x (- 1 \cdot - 1 x^{2} - x y + y (- x) + y \cdot y)$

Paso 5.4.1.4.1.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y' x - y = - 2 x (1 x^{2} - x y + y (- x) + y \cdot y)$

Paso 5.4.1.4.1.4

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$y' x - y = - 2 x (x^{2} - x y + y (- x) + y \cdot y)$

Paso 5.4.1.4.1.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y' x - y = - 2 x (x^{2} - x y - y x + y \cdot y)$

Paso 5.4.1.4.1.6

Multiplica $y$ por $y$ .

$y' x - y = - 2 x (x^{2} - x y - y x + y^{2})$

Paso 5.4.1.4.2

Resta $y x$ de $- x y$ .

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Paso 5.4.1.4.2.1

Mueve $y$ .

$y' x - y = - 2 x (x^{2} - x y - x y + y^{2})$

Paso 5.4.1.4.2.2

Resta $x y$ de $- x y$ .

$y' x - y = - 2 x (x^{2} - 2 x y + y^{2})$

Paso 5.4.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$y' x - y = - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 2 x y) - 2 x y^{2}$

Paso 5.4.1.6

Simplifica.

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Paso 5.4.1.6.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.4.1.6.1.1

Mueve $x^{2}$ .

$y' x - y = - 2 (x^{2} x) - 2 x (- 2 x y) - 2 x y^{2}$

Paso 5.4.1.6.1.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 5.4.1.6.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$y' x - y = - 2 (x^{2} x^{1}) - 2 x (- 2 x y) - 2 x y^{2}$

Paso 5.4.1.6.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y' x - y = - 2 x^{2 + 1} - 2 x (- 2 x y) - 2 x y^{2}$

Paso 5.4.1.6.1.3

Suma $2$ y $1$ .

$y' x - y = - 2 x^{3} - 2 x (- 2 x y) - 2 x y^{2}$

Paso 5.4.1.6.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 5.4.1.6.2.1

Mueve $x$ .

$y' x - y = - 2 x^{3} - 2 (x \cdot x) (- 2 y) - 2 x y^{2}$

Paso 5.4.1.6.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$y' x - y = - 2 x^{3} - 2 x^{2} (- 2 y) - 2 x y^{2}$

Paso 5.4.1.7

Simplifica cada término.

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Paso 5.4.1.7.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y' x - y = - 2 x^{3} - 2 \cdot - 2 x^{2} y - 2 x y^{2}$

Paso 5.4.1.7.2

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$y' x - y = - 2 x^{3} + 4 x^{2} y - 2 x y^{2}$

Paso 5.4.2

Suma $y$ a ambos lados de la ecuación.

$y' x = - 2 x^{3} + 4 x^{2} y - 2 x y^{2} + y$

Paso 5.4.3

Divide cada término en $y' x = - 2 x^{3} + 4 x^{2} y - 2 x y^{2} + y$ por $x$ y simplifica.

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Paso 5.4.3.1

Divide cada término en $y' x = - 2 x^{3} + 4 x^{2} y - 2 x y^{2} + y$ por $x$ .

$\frac{y' x}{x} = \frac{- 2 x^{3}}{x} + \frac{4 x^{2} y}{x} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

Paso 5.4.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.3.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 5.4.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' x}{x} = \frac{- 2 x^{3}}{x} + \frac{4 x^{2} y}{x} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

Paso 5.4.3.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 2 x^{3}}{x} + \frac{4 x^{2} y}{x} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

Paso 5.4.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.4.3.3.1.1

Cancela el factor común de $x^{3}$ y $x$ .

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Paso 5.4.3.3.1.1.1

Factoriza $x$ de $- 2 x^{3}$ .

$y' = \frac{x (- 2 x^{2})}{x} + \frac{4 x^{2} y}{x} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

Paso 5.4.3.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.4.3.3.1.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$y' = \frac{x (- 2 x^{2})}{x^{1}} + \frac{4 x^{2} y}{x} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

Paso 5.4.3.3.1.1.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$y' = \frac{x (- 2 x^{2})}{x \cdot 1} + \frac{4 x^{2} y}{x} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

Paso 5.4.3.3.1.1.2.3

Cancela el factor común.

$y' = \frac{x (- 2 x^{2})}{x \cdot 1} + \frac{4 x^{2} y}{x} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

Paso 5.4.3.3.1.1.2.4

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{- 2 x^{2}}{1} + \frac{4 x^{2} y}{x} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

Paso 5.4.3.3.1.1.2.5

Divide $- 2 x^{2}$ por $1$ .

$y' = - 2 x^{2} + \frac{4 x^{2} y}{x} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

Paso 5.4.3.3.1.2

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x$ .

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Paso 5.4.3.3.1.2.1

Factoriza $x$ de $4 x^{2} y$ .

$y' = - 2 x^{2} + \frac{x (4 x y)}{x} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

Paso 5.4.3.3.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.4.3.3.1.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$y' = - 2 x^{2} + \frac{x (4 x y)}{x^{1}} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

Paso 5.4.3.3.1.2.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$y' = - 2 x^{2} + \frac{x (4 x y)}{x \cdot 1} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

Paso 5.4.3.3.1.2.2.3

Cancela el factor común.

$y' = - 2 x^{2} + \frac{x (4 x y)}{x \cdot 1} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

Paso 5.4.3.3.1.2.2.4

Reescribe la expresión.

$y' = - 2 x^{2} + \frac{4 x y}{1} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

Paso 5.4.3.3.1.2.2.5

Divide $4 x y$ por $1$ .

$y' = - 2 x^{2} + 4 x y + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

Paso 5.4.3.3.1.3

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 5.4.3.3.1.3.1

Cancela el factor común.

$y' = - 2 x^{2} + 4 x y + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

Paso 5.4.3.3.1.3.2

Divide $- 2 y^{2}$ por $1$ .

$y' = - 2 x^{2} + 4 x y - 2 y^{2} + \frac{y}{x}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 2 x^{2} + 4 x y - 2 y^{2} + \frac{y}{x}$