Cálculo Ejemplos

$y^{3} + y^{2} - 5 y - x^{2} = - 4$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y^{3} + y^{2} - 5 y - x^{2}) = \frac{d}{d x} (- 4)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $y^{3} + y^{2} - 5 y - x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

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Paso 2.2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $y$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 2.2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 2.2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $y$ .

$3 y^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 2.2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Paso 2.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $y$ .

$3 y^{2} y' + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 5 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 2.3.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 y^{2} y' + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 5 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 2.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $y$ .

$3 y^{2} y' + 2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 5 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 2.3.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 y^{2} y' + 2 y y' + \frac{d}{d x} [- 5 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 5 y]$ .

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Paso 2.4.1

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5 y$ con respecto a $x$ es $- 5 \frac{d}{d x} [y]$ .

$3 y^{2} y' + 2 y y' - 5 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 2.4.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 y^{2} y' + 2 y y' - 5 y' + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 2.5

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Paso 2.5.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 y^{2} y' + 2 y y' - 5 y' - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 y^{2} y' + 2 y y' - 5 y' - (2 x)$

Paso 2.5.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$3 y^{2} y' + 2 y y' - 5 y' - 2 x$

Paso 2.6

Reordena los términos.

$3 y^{2} y' + 2 y y' - 2 x - 5 y'$

Paso 3

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$3 y^{2} y' + 2 y y' - 2 x - 5 y' = 0$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Suma $2 x$ a ambos lados de la ecuación.

$3 y^{2} y' + 2 y y' - 5 y' = 2 x$

Paso 5.2

Factoriza $y'$ de $3 y^{2} y' + 2 y y' - 5 y'$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $y'$ de $3 y^{2} y'$ .

$y' (3 y^{2}) + 2 y y' - 5 y' = 2 x$

Paso 5.2.2

Factoriza $y'$ de $2 y y'$ .

$y' (3 y^{2}) + y' (2 y) - 5 y' = 2 x$

Paso 5.2.3

Factoriza $y'$ de $- 5 y'$ .

$y' (3 y^{2}) + y' (2 y) + y' \cdot - 5 = 2 x$

Paso 5.2.4

Factoriza $y'$ de $y' (3 y^{2}) + y' (2 y)$ .

$y' (3 y^{2} + 2 y) + y' \cdot - 5 = 2 x$

Paso 5.2.5

Factoriza $y'$ de $y' (3 y^{2} + 2 y) + y' \cdot - 5$ .

$y' (3 y^{2} + 2 y - 5) = 2 x$

Paso 5.3

Factoriza.

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Paso 5.3.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 5.3.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 3 \cdot - 5 = - 15$ y cuya suma es $b = 2$ .

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Paso 5.3.1.1.1

Factoriza $2$ de $2 y$ .

$y' (3 y^{2} + 2 (y) - 5) = 2 x$

Paso 5.3.1.1.2

Reescribe $2$ como $- 3$ más $5$

$y' (3 y^{2} + (- 3 + 5) y - 5) = 2 x$

Paso 5.3.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y' (3 y^{2} - 3 y + 5 y - 5) = 2 x$

Paso 5.3.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 5.3.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$y' ((3 y^{2} - 3 y) + 5 y - 5) = 2 x$

Paso 5.3.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$y' (3 y (y - 1) + 5 (y - 1)) = 2 x$

Paso 5.3.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $y - 1$ .

$y' ((y - 1) (3 y + 5)) = 2 x$

Paso 5.3.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$y' (y - 1) (3 y + 5) = 2 x$

Paso 5.4

Divide cada término en $y' (y - 1) (3 y + 5) = 2 x$ por $(y - 1) (3 y + 5)$ y simplifica.

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Paso 5.4.1

Divide cada término en $y' (y - 1) (3 y + 5) = 2 x$ por $(y - 1) (3 y + 5)$ .

$\frac{y' (y - 1) (3 y + 5)}{(y - 1) (3 y + 5)} = \frac{2 x}{(y - 1) (3 y + 5)}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.2.1

Cancela el factor común de $y - 1$ .

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Paso 5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (y - 1) (3 y + 5)}{(y - 1) (3 y + 5)} = \frac{2 x}{(y - 1) (3 y + 5)}$

Paso 5.4.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' (3 y + 5)}{3 y + 5} = \frac{2 x}{(y - 1) (3 y + 5)}$

Paso 5.4.2.2

Cancela el factor común de $3 y + 5$ .

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Paso 5.4.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (3 y + 5)}{3 y + 5} = \frac{2 x}{(y - 1) (3 y + 5)}$

Paso 5.4.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{2 x}{(y - 1) (3 y + 5)}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{(y - 1) (3 y + 5)}$