Cálculo Ejemplos

$15 (x^{2} + y^{2}) = 289 (x^{2} - y^{2})$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (15 (x^{2} + y^{2})) = \frac{d}{d x} (289 (x^{2} - y^{2}))$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1

Como $15$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $15 (x^{2} + y^{2})$ con respecto a $x$ es $15 \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$ .

$15 \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Paso 2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + y^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$15 (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Paso 2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$15 (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$15 (2 x + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$15 (2 x + 2 u \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$15 (2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$15 (2 x + 2 y y')$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$15 (2 x) + 15 (2 y y')$

Paso 2.4.2

Combina los términos.

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Paso 2.4.2.1

Multiplica $2$ por $15$ .

$30 x + 15 (2 y y')$

Paso 2.4.2.2

Multiplica $2$ por $15$ .

$30 x + 30 y y'$

Paso 2.4.3

Reordena los términos.

$30 y y' + 30 x$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia.

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Paso 3.1.1

Como $289$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $289 (x^{2} - y^{2})$ con respecto a $x$ es $289 \frac{d}{d x} [x^{2} - y^{2}]$ .

$289 \frac{d}{d x} [x^{2} - y^{2}]$

Paso 3.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - y^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

$289 (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}])$

Paso 3.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$289 (2 x + \frac{d}{d x} [- y^{2}])$

Paso 3.1.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- y^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$289 (2 x - \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$289 (2 x - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]))$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$289 (2 x - (2 u \frac{d}{d x} [y]))$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$289 (2 x - (2 y \frac{d}{d x} [y]))$

Paso 3.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$289 (2 x - 2 (y \frac{d}{d x} [y]))$

Paso 3.4

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$289 (2 x - 2 y y')$

Paso 3.5

Simplifica.

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Paso 3.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$289 (2 x) + 289 (- 2 y y')$

Paso 3.5.2

Combina los términos.

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Paso 3.5.2.1

Multiplica $2$ por $289$ .

$578 x + 289 (- 2 y y')$

Paso 3.5.2.2

Multiplica $- 2$ por $289$ .

$578 x - 578 y y'$

Paso 3.5.3

Reordena los términos.

$- 578 y y' + 578 x$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$30 y y' + 30 x = - 578 y y' + 578 x$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Mueve todos los términos que contengan $y'$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 5.1.1

Suma $578 y y'$ a ambos lados de la ecuación.

$30 y y' + 30 x + 578 y y' = 578 x$

Paso 5.1.2

Suma $30 y y'$ y $578 y y'$ .

$608 y y' + 30 x = 578 x$

Paso 5.2

Mueve todos los términos que no contengan $y'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.2.1

Resta $30 x$ de ambos lados de la ecuación.

$608 y y' = 578 x - 30 x$

Paso 5.2.2

Resta $30 x$ de $578 x$ .

$608 y y' = 548 x$

Paso 5.3

Divide cada término en $608 y y' = 548 x$ por $608 y$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $608 y y' = 548 x$ por $608 y$ .

$\frac{608 y y'}{608 y} = \frac{548 x}{608 y}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $608$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{608 y y'}{608 y} = \frac{548 x}{608 y}$

Paso 5.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y y'}{y} = \frac{548 x}{608 y}$

Paso 5.3.2.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 5.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y y'}{y} = \frac{548 x}{608 y}$

Paso 5.3.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{548 x}{608 y}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Cancela el factor común de $548$ y $608$ .

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Paso 5.3.3.1.1

Factoriza $4$ de $548 x$ .

$y' = \frac{4 (137 x)}{608 y}$

Paso 5.3.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.3.1.2.1

Factoriza $4$ de $608 y$ .

$y' = \frac{4 (137 x)}{4 (152 y)}$

Paso 5.3.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$y' = \frac{4 (137 x)}{4 (152 y)}$

Paso 5.3.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{137 x}{152 y}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{137 x}{152 y}$