Cálculo Ejemplos

$x^{3} - y = \ln (y)$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (x^{3} - y) = \frac{d}{d x} (\ln (y))$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} - y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- y]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- y]$ .

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Paso 2.2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- y$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$3 x^{2} - \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 x^{2} - y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = y$ .

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Paso 3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.1.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{1}{y} y'$

Paso 3.3

Combina $\frac{1}{y}$ y $y'$ .

$\frac{y'}{y}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$3 x^{2} - y' = \frac{y'}{y}$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Multiplica ambos lados por $y$ .

$(3 x^{2} - y') y = \frac{y'}{y} y$

Paso 5.2

Simplifica.

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Paso 5.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x^{2} y - y' y = \frac{y'}{y} y$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.2.1

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$3 x^{2} y - y' y = \frac{y'}{y} y$

Paso 5.2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$3 x^{2} y - y' y = y'$

Paso 5.3

Resuelve $y'$

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Paso 5.3.1

Resta $y'$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x^{2} y - y' y - y' = 0$

Paso 5.3.2

Resta $3 x^{2} y$ de ambos lados de la ecuación.

$- y' y - y' = - 3 x^{2} y$

Paso 5.3.3

Factoriza $y'$ de $- y' y - y'$ .

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Paso 5.3.3.1

Factoriza $y'$ de $- y' y$ .

$y' (- 1 y) - y' = - 3 x^{2} y$

Paso 5.3.3.2

Factoriza $y'$ de $- y'$ .

$y' (- 1 y) + y' \cdot - 1 = - 3 x^{2} y$

Paso 5.3.3.3

Factoriza $y'$ de $y' (- 1 y) + y' \cdot - 1$ .

$y' (- 1 y - 1) = - 3 x^{2} y$

Paso 5.3.4

Reescribe $- 1 y$ como $- y$ .

$y' (- y - 1) = - 3 x^{2} y$

Paso 5.3.5

Divide cada término en $y' (- y - 1) = - 3 x^{2} y$ por $- y - 1$ y simplifica.

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Paso 5.3.5.1

Divide cada término en $y' (- y - 1) = - 3 x^{2} y$ por $- y - 1$ .

$\frac{y' (- y - 1)}{- y - 1} = \frac{- 3 x^{2} y}{- y - 1}$

Paso 5.3.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.5.2.1

Cancela el factor común de $- y - 1$ .

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Paso 5.3.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (- y - 1)}{- y - 1} = \frac{- 3 x^{2} y}{- y - 1}$

Paso 5.3.5.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2} y}{- y - 1}$

Paso 5.3.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.5.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{3 x^{2} y}{- y - 1}$

Paso 5.3.5.3.2

Factoriza $- 1$ de $- y$ .

$y' = - \frac{3 x^{2} y}{- (y) - 1}$

Paso 5.3.5.3.3

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$y' = - \frac{3 x^{2} y}{- (y) - 1 (1)}$

Paso 5.3.5.3.4

Factoriza $- 1$ de $- (y) - 1 (1)$ .

$y' = - \frac{3 x^{2} y}{- (y + 1)}$

Paso 5.3.5.3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 5.3.5.3.5.1

Reescribe $- (y + 1)$ como $- 1 (y + 1)$ .

$y' = - \frac{3 x^{2} y}{- 1 (y + 1)}$

Paso 5.3.5.3.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - - \frac{3 x^{2} y}{y + 1}$

Paso 5.3.5.3.5.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y' = 1 \frac{3 x^{2} y}{y + 1}$

Paso 5.3.5.3.5.4

Multiplica $\frac{3 x^{2} y}{y + 1}$ por $1$ .

$y' = \frac{3 x^{2} y}{y + 1}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2} y}{y + 1}$