Cálculo Ejemplos

$\frac{x + 3}{y} = 4 x + y^{2}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (\frac{x + 3}{y}) = \frac{d}{d x} (4 x + y^{2})$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x + 3$ y $g (x) = y$ .

$\frac{y \frac{d}{d x} [x + 3] - (x + 3) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Paso 2.2

Diferencia.

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Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{y (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) - (x + 3) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{y (1 + \frac{d}{d x} [3]) - (x + 3) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Paso 2.2.3

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{y (1 + 0) - (x + 3) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Paso 2.2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{y \cdot 1 - (x + 3) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Paso 2.2.4.2

Multiplica $y$ por $1$ .

$\frac{y - (x + 3) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Paso 2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{y - (x + 3) y'}{y^{2}}$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{y + (- x - 1 \cdot 3) y'}{y^{2}}$

Paso 2.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{y - x y' - 1 \cdot 3 y'}{y^{2}}$

Paso 2.4.3

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{y - x y' - 3 y'}{y^{2}}$

Paso 2.4.4

Reordena los términos.

$\frac{- x y' + y - 3 y'}{y^{2}}$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x + y^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Paso 3.2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 3.2.3

Multiplica $4$ por $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Paso 3.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 3.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$4 + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.3.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$4 + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$4 + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.3.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$4 + 2 y y'$

Paso 3.4

Reordena los términos.

$2 y y' + 4$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$\frac{- x y' + y - 3 y'}{y^{2}} = 2 y y' + 4$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Multiplica ambos lados por $y^{2}$ .

$\frac{- x y' + y - 3 y'}{y^{2}} y^{2} = (2 y y' + 4) y^{2}$

Paso 5.2

Simplifica.

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Paso 5.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1.1

Simplifica $\frac{- x y' + y - 3 y'}{y^{2}} y^{2}$ .

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Paso 5.2.1.1.1

Cancela el factor común de $y^{2}$ .

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Paso 5.2.1.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- x y' + y - 3 y'}{y^{2}} y^{2} = (2 y y' + 4) y^{2}$

Paso 5.2.1.1.1.2

Reescribe la expresión.

$- x y' + y - 3 y' = (2 y y' + 4) y^{2}$

Paso 5.2.1.1.2

Reordena.

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Paso 5.2.1.1.2.1

Mueve $x$ .

$- 1 y' x + y - 3 y' = (2 y y' + 4) y^{2}$

Paso 5.2.1.1.2.2

Mueve $y$ .

$- 1 y' x - 3 y' + y = (2 y y' + 4) y^{2}$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.2.1

Simplifica $(2 y y' + 4) y^{2}$ .

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Paso 5.2.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 1 y' x - 3 y' + y = 2 y y' y^{2} + 4 y^{2}$

Paso 5.2.2.1.2

Multiplica $y$ por $y^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.2.2.1.2.1

Mueve $y^{2}$ .

$- 1 y' x - 3 y' + y = 2 (y^{2} y) y' + 4 y^{2}$

Paso 5.2.2.1.2.2

Multiplica $y^{2}$ por $y$ .

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Paso 5.2.2.1.2.2.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$- 1 y' x - 3 y' + y = 2 (y^{2} y^{1}) y' + 4 y^{2}$

Paso 5.2.2.1.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 1 y' x - 3 y' + y = 2 y^{2 + 1} y' + 4 y^{2}$

Paso 5.2.2.1.2.3

Suma $2$ y $1$ .

$- 1 y' x - 3 y' + y = 2 y^{3} y' + 4 y^{2}$

Paso 5.2.2.1.3

Mueve $y^{3}$ .

$- 1 y' x - 3 y' + y = 2 y' y^{3} + 4 y^{2}$

Paso 5.3

Resuelve $y'$

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Paso 5.3.1

Reescribe $- 1 y'$ como $- y'$ .

$- y' x - 3 y' + y = 2 y' y^{3} + 4 y^{2}$

Paso 5.3.2

Resta $2 y' y^{3}$ de ambos lados de la ecuación.

$- y' x - 3 y' + y - 2 y' y^{3} = 4 y^{2}$

Paso 5.3.3

Resta $y$ de ambos lados de la ecuación.

$- y' x - 3 y' - 2 y' y^{3} = 4 y^{2} - y$

Paso 5.3.4

Factoriza $y'$ de $- y' x - 3 y' - 2 y' y^{3}$ .

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Paso 5.3.4.1

Factoriza $y'$ de $- y' x$ .

$y' (- 1 x) - 3 y' - 2 y' y^{3} = 4 y^{2} - y$

Paso 5.3.4.2

Factoriza $y'$ de $- 3 y'$ .

$y' (- 1 x) + y' \cdot - 3 - 2 y' y^{3} = 4 y^{2} - y$

Paso 5.3.4.3

Factoriza $y'$ de $- 2 y' y^{3}$ .

$y' (- 1 x) + y' \cdot - 3 + y' (- 2 y^{3}) = 4 y^{2} - y$

Paso 5.3.4.4

Factoriza $y'$ de $y' (- 1 x) + y' \cdot - 3$ .

$y' (- 1 x - 3) + y' (- 2 y^{3}) = 4 y^{2} - y$

Paso 5.3.4.5

Factoriza $y'$ de $y' (- 1 x - 3) + y' (- 2 y^{3})$ .

$y' (- 1 x - 3 - 2 y^{3}) = 4 y^{2} - y$

Paso 5.3.5

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$y' (- x - 3 - 2 y^{3}) = 4 y^{2} - y$

Paso 5.3.6

Divide cada término en $y' (- x - 3 - 2 y^{3}) = 4 y^{2} - y$ por $- x - 3 - 2 y^{3}$ y simplifica.

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Paso 5.3.6.1

Divide cada término en $y' (- x - 3 - 2 y^{3}) = 4 y^{2} - y$ por $- x - 3 - 2 y^{3}$ .

$\frac{y' (- x - 3 - 2 y^{3})}{- x - 3 - 2 y^{3}} = \frac{4 y^{2}}{- x - 3 - 2 y^{3}} + \frac{- y}{- x - 3 - 2 y^{3}}$

Paso 5.3.6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.6.2.1

Cancela el factor común de $- x - 3 - 2 y^{3}$ .

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Paso 5.3.6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (- x - 3 - 2 y^{3})}{- x - 3 - 2 y^{3}} = \frac{4 y^{2}}{- x - 3 - 2 y^{3}} + \frac{- y}{- x - 3 - 2 y^{3}}$

Paso 5.3.6.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{4 y^{2}}{- x - 3 - 2 y^{3}} + \frac{- y}{- x - 3 - 2 y^{3}}$

Paso 5.3.6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.6.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{4 y^{2} - y}{- x - 3 - 2 y^{3}}$

Paso 5.3.6.3.2

Factoriza $y$ de $4 y^{2} - y$ .

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Paso 5.3.6.3.2.1

Factoriza $y$ de $4 y^{2}$ .

$y' = \frac{y (4 y) - y}{- x - 3 - 2 y^{3}}$

Paso 5.3.6.3.2.2

Factoriza $y$ de $- y$ .

$y' = \frac{y (4 y) + y \cdot - 1}{- x - 3 - 2 y^{3}}$

Paso 5.3.6.3.2.3

Factoriza $y$ de $y (4 y) + y \cdot - 1$ .

$y' = \frac{y (4 y - 1)}{- x - 3 - 2 y^{3}}$

Paso 5.3.6.3.3

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$y' = \frac{y (4 y - 1)}{- (x) - 3 - 2 y^{3}}$

Paso 5.3.6.3.4

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$y' = \frac{y (4 y - 1)}{- (x) - 1 (3) - 2 y^{3}}$

Paso 5.3.6.3.5

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (3)$ .

$y' = \frac{y (4 y - 1)}{- (x + 3) - 2 y^{3}}$

Paso 5.3.6.3.6

Factoriza $- 1$ de $- 2 y^{3}$ .

$y' = \frac{y (4 y - 1)}{- (x + 3) - (2 y^{3})}$

Paso 5.3.6.3.7

Factoriza $- 1$ de $- (x + 3) - (2 y^{3})$ .

$y' = \frac{y (4 y - 1)}{- (x + 3 + 2 y^{3})}$

Paso 5.3.6.3.8

Reescribe los negativos.

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Paso 5.3.6.3.8.1

Reescribe $- (x + 3 + 2 y^{3})$ como $- 1 (x + 3 + 2 y^{3})$ .

$y' = \frac{y (4 y - 1)}{- 1 (x + 3 + 2 y^{3})}$

Paso 5.3.6.3.8.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{y (4 y - 1)}{x + 3 + 2 y^{3}}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (4 y - 1)}{x + 3 + 2 y^{3}}$