Cálculo Ejemplos

$x^{2} \cos (y) + \sin (2 y) = x y$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (x^{2} \cos (y) + \sin (2 y)) = \frac{d}{d x} (x y)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} \cos (y) + \sin (2 y)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (y)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 y)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (y)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 y)]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (y)]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \cos (y)$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\cos (y)] + \cos (y) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sin (2 y)]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $y$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sin (2 y)]$

Paso 2.2.2.2

La derivada de $\cos (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $- \sin (u_{1})$ .

$x^{2} (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sin (2 y)]$

Paso 2.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $y$ .

$x^{2} (- \sin (y) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sin (2 y)]$

Paso 2.2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x^{2} (- \sin (y) y') + \cos (y) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sin (2 y)]$

Paso 2.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x^{2} (- \sin (y) y') + \cos (y) (2 x) + \frac{d}{d x} [\sin (2 y)]$

Paso 2.2.5

Mueve $2$ a la izquierda de $\cos (y)$ .

$x^{2} (- \sin (y) y') + 2 \cos (y) x + \frac{d}{d x} [\sin (2 y)]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\sin (2 y)]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 2 y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $2 y$ .

$x^{2} (- \sin (y) y') + 2 \cos (y) x + \frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 y]$

Paso 2.3.1.2

La derivada de $\sin (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\cos (u_{2})$ .

$x^{2} (- \sin (y) y') + 2 \cos (y) x + \cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 y]$

Paso 2.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $2 y$ .

$x^{2} (- \sin (y) y') + 2 \cos (y) x + \cos (2 y) \frac{d}{d x} [2 y]$

Paso 2.3.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 y$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [y]$ .

$x^{2} (- \sin (y) y') + 2 \cos (y) x + \cos (2 y) (2 \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.3.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x^{2} (- \sin (y) y') + 2 \cos (y) x + \cos (2 y) (2 y')$

Paso 2.4

Reordena los términos.

$- x^{2} \sin (y) y' + 2 x \cos (y) + 2 \cos (2 y) y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1$

Paso 3.4

Multiplica $y$ por $1$ .

$x y' + y$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$- x^{2} \sin (y) y' + 2 x \cos (y) + 2 \cos (2 y) y' = x y' + y$

Paso 5

Resuelve $y'$

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Usa la razón del ángulo doble para transformar $\cos (2 x)$ a $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$- x^{2} \sin (y) y' + 2 x \cos (y) + 2 (1 - 2 \sin^{2} (y)) y' = x y' + y$

Paso 5.2

Resta $2 x \cos (y)$ de ambos lados de la ecuación.

$- x^{2} \sin (y) y' + 2 (1 - 2 \sin^{2} (y)) y' = x y' + y - 2 x \cos (y)$

Paso 5.3

Resta $x y'$ de ambos lados de la ecuación.

$- x^{2} \sin (y) y' + 2 (1 - 2 \sin^{2} (y)) y' - x y' = y - 2 x \cos (y)$

Paso 5.4

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.1

Simplifica $- x^{2} \sin (y) y' + 2 (1 - 2 \sin^{2} (y)) y' - x y'$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.1.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- x^{2} \sin (y) y' + (2 \cdot 1 + 2 (- 2 \sin^{2} (y))) y' - x y' = y - 2 x \cos (y)$

Paso 5.4.1.1.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$- x^{2} \sin (y) y' + (2 + 2 (- 2 \sin^{2} (y))) y' - x y' = y - 2 x \cos (y)$

Paso 5.4.1.1.3

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$- x^{2} \sin (y) y' + (2 - 4 \sin^{2} (y)) y' - x y' = y - 2 x \cos (y)$

Paso 5.4.1.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$- x^{2} \sin (y) y' + 2 y' - 4 \sin^{2} (y) y' - x y' = y - 2 x \cos (y)$

Paso 5.4.1.2

Reordena los factores en $- x^{2} \sin (y) y' + 2 y' - 4 \sin^{2} (y) y' - x y'$ .

$- x^{2} y' \sin (y) + 2 y' - 4 y' \sin^{2} (y) - x y' = y - 2 x \cos (y)$

Paso 5.5

Resuelve la ecuación en $y'$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.5.1

Factoriza $y'$ de $- x^{2} y' \sin (y) + 2 y' - 4 y' \sin^{2} (y) - x y'$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.5.1.1

Factoriza $y'$ de $- x^{2} y' \sin (y)$ .

$y' (- x^{2} \sin (y)) + 2 y' - 4 y' \sin^{2} (y) - x y' = y - 2 x \cos (y)$

Paso 5.5.1.2

Factoriza $y'$ de $2 y'$ .

$y' (- x^{2} \sin (y)) + y' \cdot 2 - 4 y' \sin^{2} (y) - x y' = y - 2 x \cos (y)$

Paso 5.5.1.3

Factoriza $y'$ de $- 4 y' \sin^{2} (y)$ .

$y' (- x^{2} \sin (y)) + y' \cdot 2 + y' (- 4 \sin^{2} (y)) - x y' = y - 2 x \cos (y)$

Paso 5.5.1.4

Factoriza $y'$ de $- x y'$ .

$y' (- x^{2} \sin (y)) + y' \cdot 2 + y' (- 4 \sin^{2} (y)) + y' (- x) = y - 2 x \cos (y)$

Paso 5.5.1.5

Factoriza $y'$ de $y' (- x^{2} \sin (y)) + y' \cdot 2$ .

$y' (- x^{2} \sin (y) + 2) + y' (- 4 \sin^{2} (y)) + y' (- x) = y - 2 x \cos (y)$

Paso 5.5.1.6

Factoriza $y'$ de $y' (- x^{2} \sin (y) + 2) + y' (- 4 \sin^{2} (y))$ .

$y' (- x^{2} \sin (y) + 2 - 4 \sin^{2} (y)) + y' (- x) = y - 2 x \cos (y)$

Paso 5.5.1.7

Factoriza $y'$ de $y' (- x^{2} \sin (y) + 2 - 4 \sin^{2} (y)) + y' (- x)$ .

$y' (- x^{2} \sin (y) + 2 - 4 \sin^{2} (y) - x) = y - 2 x \cos (y)$

Paso 5.5.2

Divide cada término en $y' (- x^{2} \sin (y) + 2 - 4 \sin^{2} (y) - x) = y - 2 x \cos (y)$ por $- x^{2} \sin (y) + 2 - 4 \sin^{2} (y) - x$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.5.2.1

Divide cada término en $y' (- x^{2} \sin (y) + 2 - 4 \sin^{2} (y) - x) = y - 2 x \cos (y)$ por $- x^{2} \sin (y) + 2 - 4 \sin^{2} (y) - x$ .

$\frac{y' (- x^{2} \sin (y) + 2 - 4 \sin^{2} (y) - x)}{- x^{2} \sin (y) + 2 - 4 \sin^{2} (y) - x} = \frac{y}{- x^{2} \sin (y) + 2 - 4 \sin^{2} (y) - x} + \frac{- 2 x \cos (y)}{- x^{2} \sin (y) + 2 - 4 \sin^{2} (y) - x}$

Paso 5.5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.5.2.2.1

Cancela el factor común de $- x^{2} \sin (y) + 2 - 4 \sin^{2} (y) - x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

Paso 5.5.2.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{y}{- x^{2} \sin (y) + 2 - 4 \sin^{2} (y) - x} + \frac{- 2 x \cos (y)}{- x^{2} \sin (y) + 2 - 4 \sin^{2} (y) - x}$

Paso 5.5.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.5.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = \frac{y}{- x^{2} \sin (y) + 2 - 4 \sin^{2} (y) - x} - \frac{2 x \cos (y)}{- x^{2} \sin (y) + 2 - 4 \sin^{2} (y) - x}$

Paso 5.5.2.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{y - 2 x \cos (y)}{- x^{2} \sin (y) + 2 - 4 \sin^{2} (y) - x}$

Paso 5.5.2.3.3

Factoriza $- 1$ de $- x^{2} \sin (y)$ .

$y' = \frac{y - 2 x \cos (y)}{- (x^{2} \sin (y)) + 2 - 4 \sin^{2} (y) - x}$

Paso 5.5.2.3.4

Reescribe $2$ como $- 1 (- 2)$ .

$y' = \frac{y - 2 x \cos (y)}{- (x^{2} \sin (y)) - 1 (- 2) - 4 \sin^{2} (y) - x}$

Paso 5.5.2.3.5

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2} \sin (y)) - 1 (- 2)$ .

$y' = \frac{y - 2 x \cos (y)}{- (x^{2} \sin (y) - 2) - 4 \sin^{2} (y) - x}$

Paso 5.5.2.3.6

Factoriza $- 1$ de $- 4 \sin^{2} (y)$ .

$y' = \frac{y - 2 x \cos (y)}{- (x^{2} \sin (y) - 2) - (4 \sin^{2} (y)) - x}$

Paso 5.5.2.3.7

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2} \sin (y) - 2) - (4 \sin^{2} (y))$ .

$y' = \frac{y - 2 x \cos (y)}{- (x^{2} \sin (y) - 2 + 4 \sin^{2} (y)) - x}$

Paso 5.5.2.3.8

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$y' = \frac{y - 2 x \cos (y)}{- (x^{2} \sin (y) - 2 + 4 \sin^{2} (y)) - (x)}$

Paso 5.5.2.3.9

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2} \sin (y) - 2 + 4 \sin^{2} (y)) - (x)$ .

$y' = \frac{y - 2 x \cos (y)}{- (x^{2} \sin (y) - 2 + 4 \sin^{2} (y) + x)}$

Paso 5.5.2.3.10

Reescribe los negativos.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.5.2.3.10.1

Reescribe $- (x^{2} \sin (y) - 2 + 4 \sin^{2} (y) + x)$ como $- 1 (x^{2} \sin (y) - 2 + 4 \sin^{2} (y) + x)$ .

$y' = \frac{y - 2 x \cos (y)}{- 1 (x^{2} \sin (y) - 2 + 4 \sin^{2} (y) + x)}$

Paso 5.5.2.3.10.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{y - 2 x \cos (y)}{x^{2} \sin (y) - 2 + 4 \sin^{2} (y) + x}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y - 2 x \cos (y)}{x^{2} \sin (y) - 2 + 4 \sin^{2} (y) + x}$