Cálculo Ejemplos

$x^{3} - y^{3} = 3 x^{2} y - 3 x y^{2}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (x^{3} - y^{3}) = \frac{d}{d x} (3 x^{2} y - 3 x y^{2})$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} - y^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- y^{3}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- y^{3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$3 x^{2} - \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$3 x^{2} - (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 x^{2} - (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$3 x^{2} - (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 x^{2} - (3 y^{2} y')$

Paso 2.2.4

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$3 x^{2} - 3 y^{2} y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{2} y - 3 x y^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{2} y]$ .

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Paso 3.2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{2} y$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

$3 (x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}]$

Paso 3.2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 (x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}]$

Paso 3.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 (x^{2} y' + y (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}]$

Paso 3.2.5

Mueve $2$ a la izquierda de $y$ .

$3 (x^{2} y' + 2 y x) + \frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}]$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}]$ .

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Paso 3.3.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x y^{2}$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

$3 (x^{2} y' + 2 y x) - 3 \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y^{2}$ .

$3 (x^{2} y' + 2 y x) - 3 (x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 3.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$3 (x^{2} y' + 2 y x) - 3 (x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 (x^{2} y' + 2 y x) - 3 (x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$3 (x^{2} y' + 2 y x) - 3 (x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.3.4

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 (x^{2} y' + 2 y x) - 3 (x (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 (x^{2} y' + 2 y x) - 3 (x (2 y y') + y^{2} \cdot 1)$

Paso 3.3.6

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$3 (x^{2} y' + 2 y x) - 3 (2 \cdot x y y' + y^{2} \cdot 1)$

Paso 3.3.7

Multiplica $y^{2}$ por $1$ .

$3 (x^{2} y' + 2 y x) - 3 (2 x y y' + y^{2})$

Paso 3.4

Simplifica.

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Paso 3.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 (x^{2} y') + 3 (2 y x) - 3 (2 x y y' + y^{2})$

Paso 3.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$3 (x^{2} y') + 3 (2 y x) - 3 (2 x y y') - 3 y^{2}$

Paso 3.4.3

Combina los términos.

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Paso 3.4.3.1

Multiplica $2$ por $3$ .

$3 x^{2} y' + 6 (y x) - 3 (2 x y y') - 3 y^{2}$

Paso 3.4.3.2

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$3 x^{2} y' + 6 y x - 6 x y y' - 3 y^{2}$

Paso 3.4.4

Reordena los términos.

$- 3 y^{2} + 3 x^{2} y' + 6 x y - 6 x y y'$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$3 x^{2} - 3 y^{2} y' = - 3 y^{2} + 3 x^{2} y' + 6 x y - 6 x y y'$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Como $y'$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$- 3 y^{2} + 3 x^{2} y' + 6 x y - 6 x y y' = 3 x^{2} - 3 y^{2} y'$

Paso 5.2

Suma $3 y^{2} y'$ a ambos lados de la ecuación.

$- 3 y^{2} + 3 x^{2} y' + 6 x y - 6 x y y' + 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

Paso 5.3

Mueve todos los términos que no contengan $y'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.3.1

Suma $3 y^{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$3 x^{2} y' + 6 x y - 6 x y y' + 3 y^{2} y' = 3 x^{2} + 3 y^{2}$

Paso 5.3.2

Resta $6 x y$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x^{2} y' - 6 x y y' + 3 y^{2} y' = 3 x^{2} + 3 y^{2} - 6 x y$

Paso 5.4

Factoriza $3 y'$ de $3 x^{2} y' - 6 x y y' + 3 y^{2} y'$ .

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Paso 5.4.1

Factoriza $3 y'$ de $3 x^{2} y'$ .

$3 y' x^{2} - 6 x y y' + 3 y^{2} y' = 3 x^{2} + 3 y^{2} - 6 x y$

Paso 5.4.2

Factoriza $3 y'$ de $- 6 x y y'$ .

$3 y' x^{2} + 3 y' (- 2 x y) + 3 y^{2} y' = 3 x^{2} + 3 y^{2} - 6 x y$

Paso 5.4.3

Factoriza $3 y'$ de $3 y^{2} y'$ .

$3 y' x^{2} + 3 y' (- 2 x y) + 3 y' y^{2} = 3 x^{2} + 3 y^{2} - 6 x y$

Paso 5.4.4

Factoriza $3 y'$ de $3 y' x^{2} + 3 y' (- 2 x y)$ .

$3 y' (x^{2} - 2 x y) + 3 y' y^{2} = 3 x^{2} + 3 y^{2} - 6 x y$

Paso 5.4.5

Factoriza $3 y'$ de $3 y' (x^{2} - 2 x y) + 3 y' y^{2}$ .

$3 y' (x^{2} - 2 x y + y^{2}) = 3 x^{2} + 3 y^{2} - 6 x y$

Paso 5.5

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 5.5.1

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$2 x y = 2 \cdot x \cdot y$

Paso 5.5.2

Reescribe el polinomio.

$3 y' (x^{2} - 2 \cdot x \cdot y + y^{2}) = 3 x^{2} + 3 y^{2} - 6 x y$

Paso 5.5.3

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = y$ .

$3 y' {(x - y)}^{2} = 3 x^{2} + 3 y^{2} - 6 x y$

Paso 5.6

Divide cada término en $3 y' {(x - y)}^{2} = 3 x^{2} + 3 y^{2} - 6 x y$ por $3 {(x - y)}^{2}$ y simplifica.

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Paso 5.6.1

Divide cada término en $3 y' {(x - y)}^{2} = 3 x^{2} + 3 y^{2} - 6 x y$ por $3 {(x - y)}^{2}$ .

$\frac{3 y' {(x - y)}^{2}}{3 {(x - y)}^{2}} = \frac{3 x^{2}}{3 {(x - y)}^{2}} + \frac{3 y^{2}}{3 {(x - y)}^{2}} + \frac{- 6 x y}{3 {(x - y)}^{2}}$

Paso 5.6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.6.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 y' {(x - y)}^{2}}{3 {(x - y)}^{2}} = \frac{3 x^{2}}{3 {(x - y)}^{2}} + \frac{3 y^{2}}{3 {(x - y)}^{2}} + \frac{- 6 x y}{3 {(x - y)}^{2}}$

Paso 5.6.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' {(x - y)}^{2}}{{(x - y)}^{2}} = \frac{3 x^{2}}{3 {(x - y)}^{2}} + \frac{3 y^{2}}{3 {(x - y)}^{2}} + \frac{- 6 x y}{3 {(x - y)}^{2}}$

Paso 5.6.2.2

Cancela el factor común de ${(x - y)}^{2}$ .

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Paso 5.6.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' {(x - y)}^{2}}{{(x - y)}^{2}} = \frac{3 x^{2}}{3 {(x - y)}^{2}} + \frac{3 y^{2}}{3 {(x - y)}^{2}} + \frac{- 6 x y}{3 {(x - y)}^{2}}$

Paso 5.6.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{3 {(x - y)}^{2}} + \frac{3 y^{2}}{3 {(x - y)}^{2}} + \frac{- 6 x y}{3 {(x - y)}^{2}}$

Paso 5.6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.6.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.6.3.1.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.6.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$y' = \frac{3 x^{2}}{3 {(x - y)}^{2}} + \frac{3 y^{2}}{3 {(x - y)}^{2}} + \frac{- 6 x y}{3 {(x - y)}^{2}}$

Paso 5.6.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{x^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{3 y^{2}}{3 {(x - y)}^{2}} + \frac{- 6 x y}{3 {(x - y)}^{2}}$

Paso 5.6.3.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.6.3.1.2.1

Cancela el factor común.

$y' = \frac{x^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{3 y^{2}}{3 {(x - y)}^{2}} + \frac{- 6 x y}{3 {(x - y)}^{2}}$

Paso 5.6.3.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{x^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{y^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{- 6 x y}{3 {(x - y)}^{2}}$

Paso 5.6.3.1.3

Cancela el factor común de $- 6$ y $3$ .

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Paso 5.6.3.1.3.1

Factoriza $3$ de $- 6 x y$ .

$y' = \frac{x^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{y^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{3 (- 2 x y)}{3 {(x - y)}^{2}}$

Paso 5.6.3.1.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.6.3.1.3.2.1

Factoriza $3$ de $3 {(x - y)}^{2}$ .

$y' = \frac{x^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{y^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{3 (- 2 x y)}{3 ({(x - y)}^{2})}$

Paso 5.6.3.1.3.2.2

Cancela el factor común.

$y' = \frac{x^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{y^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{3 (- 2 x y)}{3 {(x - y)}^{2}}$

Paso 5.6.3.1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{x^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{y^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{- 2 x y}{{(x - y)}^{2}}$

Paso 5.6.3.1.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = \frac{x^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{y^{2}}{{(x - y)}^{2}} - \frac{2 x y}{{(x - y)}^{2}}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{y^{2}}{{(x - y)}^{2}} - \frac{2 x y}{{(x - y)}^{2}}$