Cálculo Ejemplos

$\sqrt{x} = 3 \sqrt{y}$

Paso 1

Rewrite the equation with rational exponents.

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Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} = 3 \sqrt{y}$

Paso 1.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{y}$ como $y^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} = 3 y^{\frac{1}{2}}$

Paso 2

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (3 y^{\frac{1}{2}})$

Paso 3

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

Paso 3.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Paso 3.3

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Paso 3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Paso 3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.5.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

Paso 3.5.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

Paso 3.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Paso 3.7

Simplifica.

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Paso 3.7.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 3.7.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 y^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 4.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$3 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [y])$

Paso 4.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y])$

Paso 4.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$3 (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y])$

Paso 4.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [y])$

Paso 4.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [y])$

Paso 4.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$3 (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [y])$

Paso 4.6

Simplifica el numerador.

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Paso 4.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$3 (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [y])$

Paso 4.6.2

Resta $2$ de $1$ .

$3 (\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [y])$

Paso 4.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$3 (\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y])$

Paso 4.8

Combina $\frac{1}{2}$ y $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$3 (\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [y])$

Paso 4.9

Mueve $y^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 (\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y])$

Paso 4.10

Combina $\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ y $3$ .

$\frac{3}{2 y^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 4.11

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{3}{2 y^{\frac{1}{2}}} y'$

Paso 4.12

Combina $\frac{3}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ y $y'$ .

$\frac{3 y'}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{3 y'}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Paso 6

Resuelve $y'$

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Paso 6.1

Reescribe la ecuación como $\frac{3 y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 6.2

Multiplica ambos lados por $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.3

Simplifica.

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Paso 6.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.1.1

Simplifica $\frac{3 y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$ .

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Paso 6.3.1.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 \frac{3 y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.3.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.3.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{3 y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.3.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{3 y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.3.1.1.3

Cancela el factor común de $y^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 6.3.1.1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.3.1.1.3.2

Reescribe la expresión.

$3 y' = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.2.1

Simplifica $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$ .

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Paso 6.3.2.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$3 y' = 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}}$

Paso 6.3.2.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.3.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$3 y' = 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}}$

Paso 6.3.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$3 y' = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}}$

Paso 6.3.2.1.3

Combina $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ y $y^{\frac{1}{2}}$ .

$3 y' = \frac{y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 6.4

Divide cada término en $3 y' = \frac{y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ por $3$ y simplifica.

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Paso 6.4.1

Divide cada término en $3 y' = \frac{y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ por $3$ .

$\frac{3 y'}{3} = \frac{\frac{y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}}{3}$

Paso 6.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.4.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 y'}{3} = \frac{\frac{y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}}{3}$

Paso 6.4.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{\frac{y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}}{3}$

Paso 6.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.4.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$y' = \frac{y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{3}$

Paso 6.4.3.2

Combinar.

$y' = \frac{y^{\frac{1}{2}} \cdot 1}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 3}$

Paso 6.4.3.3

Simplifica la expresión.

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Paso 6.4.3.3.1

Multiplica $y^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$y' = \frac{y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 3}$

Paso 6.4.3.3.2

Mueve $3$ a la izquierda de $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{y^{\frac{1}{2}}}{3 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 7

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{\frac{1}{2}}}{3 x^{\frac{1}{2}}}$