Cálculo Ejemplos

e^{y} = x y

$e^{y} = x y$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

\frac{d}{d x} (e^{y}) = \frac{d}{d x} (x y)

$\frac{d}{d x} (e^{y}) = \frac{d}{d x} (x y)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que

\frac{d}{d x} [f (g (x))]

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es

f' (g (x)) g' (x)

$f' (g (x)) g' (x)$ donde

f (x) = e^{x}

$f (x) = e^{x}$ y

g (x) = y

$g (x) = y$ .

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Paso 2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece

u

$u$ como

y

$y$ .

\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [y]

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que

\frac{d}{d u} [a^{u}]

$\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es

a^{u} ln (a)

$a^{u} \ln (a)$ donde

a

$a$ =

e

$e$ .

e^{u} \frac{d}{d x} [y]

$e^{u} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.1.3

Reemplaza todos los casos de

u

$u$ con

y

$y$ .

e^{y} \frac{d}{d x} [y]

$e^{y} \frac{d}{d x} [y]$

e^{y} \frac{d}{d x} [y]

$e^{y} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.2

Reescribe

\frac{d}{d x} [y]

$\frac{d}{d x} [y]$ como

y'

$y'$ .

e^{y} y'

$e^{y} y'$

e^{y} y'

$e^{y} y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que

\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]

$\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es

f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]

$f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde

f (x) = x

$f (x) = x$ y

g (x) = y

$g (x) = y$ .

x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.2

Reescribe

\frac{d}{d x} [y]

$\frac{d}{d x} [y]$ como

y'

$y'$ .

x y' + y \frac{d}{d x} [x]

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ donde

n = 1

$n = 1$ .

x y' + y \cdot 1

$x y' + y \cdot 1$

Paso 3.4

Multiplica

y

$y$ por

1

$1$ .

x y' + y

$x y' + y$

x y' + y

$x y' + y$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

e^{y} y' = x y' + y

$e^{y} y' = x y' + y$

Paso 5

Resuelve

y'

$y'$

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Paso 5.1

Reordena los factores en

e^{y} y'

$e^{y} y'$ .

y' e^{y} = x y' + y

$y' e^{y} = x y' + y$

Paso 5.2

Resta

x y'

$x y'$ de ambos lados de la ecuación.

y' e^{y} - x y' = y

$y' e^{y} - x y' = y$

Paso 5.3

Factoriza

y'

$y'$ de

y' e^{y} - x y'

$y' e^{y} - x y'$ .

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Paso 5.3.1

Factoriza

y'

$y'$ de

y' e^{y}

$y' e^{y}$ .

y' (e^{y}) - x y' = y

$y' (e^{y}) - x y' = y$

Paso 5.3.2

Factoriza

y'

$y'$ de

- x y'

$- x y'$ .

y' (e^{y}) + y' (- x) = y

$y' (e^{y}) + y' (- x) = y$

Paso 5.3.3

Factoriza

y'

$y'$ de

y' (e^{y}) + y' (- x)

$y' (e^{y}) + y' (- x)$ .

y' (e^{y} - x) = y

$y' (e^{y} - x) = y$

y' (e^{y} - x) = y

$y' (e^{y} - x) = y$

Paso 5.4

Divide cada término en

y' (e^{y} - x) = y

$y' (e^{y} - x) = y$ por

e^{y} - x

$e^{y} - x$ y simplifica.

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Paso 5.4.1

Divide cada término en

y' (e^{y} - x) = y

$y' (e^{y} - x) = y$ por

e^{y} - x

$e^{y} - x$ .

\frac{y' (e^{y} - x)}{e^{y} - x} = \frac{y}{e^{y} - x}

$\frac{y' (e^{y} - x)}{e^{y} - x} = \frac{y}{e^{y} - x}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.2.1

Cancela el factor común de

e^{y} - x

$e^{y} - x$ .

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Paso 5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (e^{y} - x)}{e^{y} - x} = \frac{y}{e^{y} - x}$

Paso 5.4.2.1.2

Divide

$y'$ por

$1$ .

$y' = \frac{y}{e^{y} - x}$

Paso 6

Reemplaza

$y'$ con

$\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{e^{y} - x}$