Cálculo Ejemplos

$7^{x + y} = y^{\ln (7)}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (7^{x + y}) = \frac{d}{d x} (y^{\ln (7)})$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = 7^{x}$ y $g (x) = x + y$ .

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Paso 2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + y$ .

$\frac{d}{d u} [7^{u}] \frac{d}{d x} [x + y]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $7$ .

$7^{u} \ln (7) \frac{d}{d x} [x + y]$

Paso 2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + y$ .

$7^{x + y} \ln (7) \frac{d}{d x} [x + y]$

Paso 2.2

Diferencia.

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Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$7^{x + y} \ln (7) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$7^{x + y} \ln (7) (1 + \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$7^{x + y} \ln (7) (1 + y')$

Paso 2.4

Reordena los factores de $7^{x + y} \ln (7) (1 + y')$ .

$7^{x + y} (1 + y') \ln (7)$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\ln (7)}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\ln (7)}] \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \ln (7)$ .

$\ln (7) u^{\ln (7) - 1} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$\ln (7) y^{\ln (7) - 1} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\ln (7) y^{\ln (7) - 1} y'$

Paso 3.3

Reordena los factores de $\ln (7) y^{\ln (7) - 1} y'$ .

$y^{\ln (7) - 1} \ln (7) y'$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$7^{x + y} (1 + y') \ln (7) = y^{\ln (7) - 1} \ln (7) y'$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Simplifica $7^{x + y} (1 + y') \ln (7)$ .

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Paso 5.1.1

Reescribe.

$0 + 0 + 7^{x + y} (1 + y') \ln (7) = y^{\ln (7) - 1} \ln (7) y'$

Paso 5.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$7^{x + y} (1 + y') \ln (7) = y^{\ln (7) - 1} \ln (7) y'$

Paso 5.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$(7^{x + y} \cdot 1 + 7^{x + y} y') \ln (7) = y^{\ln (7) - 1} \ln (7) y'$

Paso 5.1.4

Multiplica $7^{x + y}$ por $1$ .

$(7^{x + y} + 7^{x + y} y') \ln (7) = y^{\ln (7) - 1} \ln (7) y'$

Paso 5.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$7^{x + y} \ln (7) + 7^{x + y} y' \ln (7) = y^{\ln (7) - 1} \ln (7) y'$

Paso 5.1.6

Reordena los factores en $7^{x + y} \ln (7) + 7^{x + y} y' \ln (7)$ .

$\ln (7) \cdot 7^{x + y} + y' \ln (7) \cdot 7^{x + y} = y^{\ln (7) - 1} \ln (7) y'$

Paso 5.2

Reordena los factores en $y^{\ln (7) - 1} \ln (7) y'$ .

$\ln (7) \cdot 7^{x + y} + y' \ln (7) \cdot 7^{x + y} = \ln (7) y' y^{\ln (7) - 1}$

Paso 5.3

Resta $\ln (7) y' y^{\ln (7) - 1}$ de ambos lados de la ecuación.

$\ln (7) \cdot 7^{x + y} + y' \ln (7) \cdot 7^{x + y} - \ln (7) y' y^{\ln (7) - 1} = 0$

Paso 5.4

Resta $\ln (7) \cdot 7^{x + y}$ de ambos lados de la ecuación.

$y' \ln (7) \cdot 7^{x + y} - \ln (7) y' y^{\ln (7) - 1} = - \ln (7) \cdot 7^{x + y}$

Paso 5.5

Factoriza $y' \ln (7)$ de $y' \ln (7) \cdot 7^{x + y} - \ln (7) y' y^{\ln (7) - 1}$ .

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Paso 5.5.1

Factoriza $y' \ln (7)$ de $- \ln (7) y' y^{\ln (7) - 1}$ .

$y' \ln (7) \cdot 7^{x + y} + y' \ln (7) (- 1 y^{\ln (7) - 1}) = - \ln (7) \cdot 7^{x + y}$

Paso 5.5.2

Factoriza $y' \ln (7)$ de $y' \ln (7) \cdot 7^{x + y} + y' \ln (7) (- 1 y^{\ln (7) - 1})$ .

$y' \ln (7) (7^{x + y} - 1 y^{\ln (7) - 1}) = - \ln (7) \cdot 7^{x + y}$

Paso 5.6

Reescribe $- 1 y^{\ln (7) - 1}$ como $- y^{\ln (7) - 1}$ .

$y' \ln (7) (7^{x + y} - y^{\ln (7) - 1}) = - \ln (7) \cdot 7^{x + y}$

Paso 5.7

Divide cada término en $y' \ln (7) (7^{x + y} - y^{\ln (7) - 1}) = - \ln (7) \cdot 7^{x + y}$ por $\ln (7) (7^{x + y} - y^{\ln (7) - 1})$ y simplifica.

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Paso 5.7.1

Divide cada término en $y' \ln (7) (7^{x + y} - y^{\ln (7) - 1}) = - \ln (7) \cdot 7^{x + y}$ por $\ln (7) (7^{x + y} - y^{\ln (7) - 1})$ .

$\frac{y' (\ln (7)) (7^{x + y} - y^{\ln (7) - 1})}{\ln (7) (7^{x + y} - y^{\ln (7) - 1})} = \frac{- \ln (7) \cdot 7^{x + y}}{\ln (7) (7^{x + y} - y^{\ln (7) - 1})}$

Paso 5.7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.7.2.1

Cancela el factor común de $\ln (7)$ .

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Paso 5.7.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (\ln (7)) (7^{x + y} - y^{\ln (7) - 1})}{\ln (7) (7^{x + y} - y^{\ln (7) - 1})} = \frac{- \ln (7) \cdot 7^{x + y}}{\ln (7) (7^{x + y} - y^{\ln (7) - 1})}$

Paso 5.7.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' (7^{x + y} - y^{\ln (7) - 1})}{7^{x + y} - y^{\ln (7) - 1}} = \frac{- \ln (7) \cdot 7^{x + y}}{\ln (7) (7^{x + y} - y^{\ln (7) - 1})}$

Paso 5.7.2.2

Cancela el factor común de $7^{x + y} - y^{\ln (7) - 1}$ .

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Paso 5.7.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (7^{x + y} - y^{\ln (7) - 1})}{7^{x + y} - y^{\ln (7) - 1}} = \frac{- \ln (7) \cdot 7^{x + y}}{\ln (7) (7^{x + y} - y^{\ln (7) - 1})}$

Paso 5.7.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- \ln (7) \cdot 7^{x + y}}{\ln (7) (7^{x + y} - y^{\ln (7) - 1})}$

Paso 5.7.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.7.3.1

Cancela el factor común de $\ln (7)$ .

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Paso 5.7.3.1.1

Cancela el factor común.

$y' = \frac{- \ln (7) \cdot 7^{x + y}}{\ln (7) (7^{x + y} - y^{\ln (7) - 1})}$

Paso 5.7.3.1.2

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{- 1 \cdot 7^{x + y}}{7^{x + y} - y^{\ln (7) - 1}}$

Paso 5.7.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{7^{x + y}}{7^{x + y} - y^{\ln (7) - 1}}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{7^{x + y}}{7^{x + y} - y^{\ln (7) - 1}}$