Cálculo Ejemplos

$\frac{2 x + y}{x - 5 y} = 1$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (\frac{2 x + y}{x - 5 y}) = \frac{d}{d x} (1)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 2 x + y$ y $g (x) = x - 5 y$ .

$\frac{(x - 5 y) \frac{d}{d x} [2 x + y] - (2 x + y) \frac{d}{d x} [x - 5 y]}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Paso 2.2

Diferencia.

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Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x + y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{(x - 5 y) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [y]) - (2 x + y) \frac{d}{d x} [x - 5 y]}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Paso 2.2.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x - 5 y) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]) - (2 x + y) \frac{d}{d x} [x - 5 y]}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(x - 5 y) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y]) - (2 x + y) \frac{d}{d x} [x - 5 y]}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Paso 2.2.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{(x - 5 y) (2 + \frac{d}{d x} [y]) - (2 x + y) \frac{d}{d x} [x - 5 y]}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Paso 2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{(x - 5 y) (2 + y') - (2 x + y) \frac{d}{d x} [x - 5 y]}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Paso 2.4

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 5 y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$ .

$\frac{(x - 5 y) (2 + y') - (2 x + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 y])}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Paso 2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(x - 5 y) (2 + y') - (2 x + y) (1 + \frac{d}{d x} [- 5 y])}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Paso 2.6

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5 y$ con respecto a $x$ es $- 5 \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{(x - 5 y) (2 + y') - (2 x + y) (1 - 5 \frac{d}{d x} [y])}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Paso 2.7

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{(x - 5 y) (2 + y') - (2 x + y) (1 - 5 y')}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Paso 2.8

Simplifica.

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Paso 2.8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(x - 5 y) (2 + y') + (- (2 x) - y) (1 - 5 y')}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Paso 2.8.2

Simplifica el numerador.

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Paso 2.8.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.8.2.1.1

Expande $(x - 5 y) (2 + y')$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.8.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (2 + y') - 5 y (2 + y') + (- (2 x) - y) (1 - 5 y')}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Paso 2.8.2.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot 2 + x y' - 5 y (2 + y') + (- (2 x) - y) (1 - 5 y')}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Paso 2.8.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot 2 + x y' - 5 y \cdot 2 - 5 y y' + (- (2 x) - y) (1 - 5 y')}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Paso 2.8.2.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.8.2.1.2.1

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{2 \cdot x + x y' - 5 y \cdot 2 - 5 y y' + (- (2 x) - y) (1 - 5 y')}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Paso 2.8.2.1.2.2

Multiplica $2$ por $- 5$ .

$\frac{2 x + x y' - 10 y - 5 y y' + (- (2 x) - y) (1 - 5 y')}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Paso 2.8.2.1.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 x + x y' - 10 y - 5 y y' + (- 2 x - y) (1 - 5 y')}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Paso 2.8.2.1.4

Expande $(- 2 x - y) (1 - 5 y')$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.8.2.1.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x + x y' - 10 y - 5 y y' - 2 x (1 - 5 y') - y (1 - 5 y')}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Paso 2.8.2.1.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x + x y' - 10 y - 5 y y' - 2 x \cdot 1 - 2 x (- 5 y') - y (1 - 5 y')}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Paso 2.8.2.1.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x + x y' - 10 y - 5 y y' - 2 x \cdot 1 - 2 x (- 5 y') - y \cdot 1 - y (- 5 y')}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Paso 2.8.2.1.5

Simplifica cada término.

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Paso 2.8.2.1.5.1

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\frac{2 x + x y' - 10 y - 5 y y' - 2 x - 2 x (- 5 y') - y \cdot 1 - y (- 5 y')}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Paso 2.8.2.1.5.2

Multiplica $- 5$ por $- 2$ .

$\frac{2 x + x y' - 10 y - 5 y y' - 2 x + 10 x y' - y \cdot 1 - y (- 5 y')}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Paso 2.8.2.1.5.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 x + x y' - 10 y - 5 y y' - 2 x + 10 x y' - y - y (- 5 y')}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Paso 2.8.2.1.5.4

Multiplica $- 5$ por $- 1$ .

$\frac{2 x + x y' - 10 y - 5 y y' - 2 x + 10 x y' - y + 5 y y'}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Paso 2.8.2.2

Combina los términos opuestos en $2 x + x y' - 10 y - 5 y y' - 2 x + 10 x y' - y + 5 y y'$ .

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Paso 2.8.2.2.1

Resta $2 x$ de $2 x$ .

$\frac{x y' - 10 y - 5 y y' + 0 + 10 x y' - y + 5 y y'}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Paso 2.8.2.2.2

Suma $x y' - 10 y - 5 y y'$ y $0$ .

$\frac{x y' - 10 y - 5 y y' + 10 x y' - y + 5 y y'}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Paso 2.8.2.2.3

Suma $- 5 y y'$ y $5 y y'$ .

$\frac{x y' - 10 y + 10 x y' - y + 0}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Paso 2.8.2.2.4

Suma $x y' - 10 y + 10 x y' - y$ y $0$ .

$\frac{x y' - 10 y + 10 x y' - y}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Paso 2.8.2.3

Suma $x y'$ y $10 x y'$ .

$\frac{11 x y' - 10 y - y}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Paso 2.8.2.4

Resta $y$ de $- 10 y$ .

$\frac{11 x y' - 11 y}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Paso 2.8.3

Factoriza $11$ de $11 x y' - 11 y$ .

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Paso 2.8.3.1

Factoriza $11$ de $11 x y'$ .

$\frac{11 (x y') - 11 y}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Paso 2.8.3.2

Factoriza $11$ de $- 11 y$ .

$\frac{11 (x y') + 11 (- y)}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Paso 2.8.3.3

Factoriza $11$ de $11 (x y') + 11 (- y)$ .

$\frac{11 (x y' - y)}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Paso 3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$\frac{11 (x y' - y)}{{(x - 5 y)}^{2}} = 0$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Establece el numerador igual a cero.

$11 (x y' - y) = 0$

Paso 5.2

Resuelve la ecuación en $y'$ .

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Paso 5.2.1

Divide cada término en $11 (x y' - y) = 0$ por $11$ y simplifica.

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Paso 5.2.1.1

Divide cada término en $11 (x y' - y) = 0$ por $11$ .

$\frac{11 (x y' - y)}{11} = \frac{0}{11}$

Paso 5.2.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1.2.1

Cancela el factor común de $11$ .

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Paso 5.2.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{11 (x y' - y)}{11} = \frac{0}{11}$

Paso 5.2.1.2.1.2

Divide $x y' - y$ por $1$ .

$x y' - y = \frac{0}{11}$

Paso 5.2.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.1.3.1

Divide $0$ por $11$ .

$x y' - y = 0$

Paso 5.2.2

Suma $y$ a ambos lados de la ecuación.

$x y' = y$

Paso 5.2.3

Divide cada término en $x y' = y$ por $x$ y simplifica.

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Paso 5.2.3.1

Divide cada término en $x y' = y$ por $x$ .

$\frac{x y'}{x} = \frac{y}{x}$

Paso 5.2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.3.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 5.2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x y'}{x} = \frac{y}{x}$

Paso 5.2.3.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{y}{x}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x}$