Cálculo Ejemplos

${(x - y - 1)}^{3} = x$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} ({(x - y - 1)}^{3}) = \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = x - y - 1$ .

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Paso 2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x - y - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - y - 1]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - y - 1]$

Paso 2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - y - 1$ .

$3 {(x - y - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x - y - 1]$

Paso 2.2

Diferencia.

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Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - y - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$3 {(x - y - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 {(x - y - 1)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 2.2.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- y$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$3 {(x - y - 1)}^{2} (1 - \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 {(x - y - 1)}^{2} (1 - y' + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 2.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 {(x - y - 1)}^{2} (1 - y' + 0)$

Paso 2.5

Suma $1 - y'$ y $0$ .

$3 {(x - y - 1)}^{2} (1 - y')$

Paso 2.6

Simplifica.

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Paso 2.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 {(x - y - 1)}^{2} \cdot 1 + 3 {(x - y - 1)}^{2} (- y')$

Paso 2.6.2

Combina los términos.

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Paso 2.6.2.1

Multiplica $3$ por $1$ .

$3 {(x - y - 1)}^{2} + 3 {(x - y - 1)}^{2} (- y')$

Paso 2.6.2.2

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$3 {(x - y - 1)}^{2} - 3 {(x - y - 1)}^{2} y'$

Paso 3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$3 {(x - y - 1)}^{2} - 3 {(x - y - 1)}^{2} y' = 1$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Reordena los factores en $3 {(x - y - 1)}^{2} - 3 {(x - y - 1)}^{2} y'$ .

$3 {(x - y - 1)}^{2} - 3 y' {(x - y - 1)}^{2} = 1$

Paso 5.2

Resta $3 {(x - y - 1)}^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$- 3 y' {(x - y - 1)}^{2} = 1 - 3 {(x - y - 1)}^{2}$

Paso 5.3

Divide cada término en $- 3 y' {(x - y - 1)}^{2} = 1 - 3 {(x - y - 1)}^{2}$ por $- 3 {(x - y - 1)}^{2}$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $- 3 y' {(x - y - 1)}^{2} = 1 - 3 {(x - y - 1)}^{2}$ por $- 3 {(x - y - 1)}^{2}$ .

$\frac{- 3 y' {(x - y - 1)}^{2}}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}} = \frac{1}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}} + \frac{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $- 3$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 3 y' {(x - y - 1)}^{2}}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}} = \frac{1}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}} + \frac{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}$

Paso 5.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' {(x - y - 1)}^{2}}{{(x - y - 1)}^{2}} = \frac{1}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}} + \frac{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}$

Paso 5.3.2.2

Cancela el factor común de ${(x - y - 1)}^{2}$ .

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Paso 5.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' {(x - y - 1)}^{2}}{{(x - y - 1)}^{2}} = \frac{1}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}} + \frac{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}$

Paso 5.3.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{1}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}} + \frac{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Para escribir $\frac{1}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y' = \frac{1}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}} \cdot \frac{- 1}{- 1} + \frac{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}$

Paso 5.3.3.2

Para escribir $\frac{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y' = \frac{1}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}} \cdot \frac{- 1}{- 1} + \frac{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Paso 5.3.3.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $3 {(x - y - 1)}^{2}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 5.3.3.3.1

Multiplica $\frac{1}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}$ por $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y' = \frac{- 1}{- 3 {(x - y - 1)}^{2} \cdot - 1} + \frac{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Paso 5.3.3.3.2

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$y' = \frac{- 1}{3 {(x - y - 1)}^{2}} + \frac{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Paso 5.3.3.3.3

Multiplica $\frac{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}$ por $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y' = \frac{- 1}{3 {(x - y - 1)}^{2}} + \frac{- 3 {(x - y - 1)}^{2} \cdot - 1}{- 3 {(x - y - 1)}^{2} \cdot - 1}$

Paso 5.3.3.3.4

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$y' = \frac{- 1}{3 {(x - y - 1)}^{2}} + \frac{- 3 {(x - y - 1)}^{2} \cdot - 1}{3 {(x - y - 1)}^{2}}$

Paso 5.3.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{- 1 - 3 {(x - y - 1)}^{2} \cdot - 1}{3 {(x - y - 1)}^{2}}$

Paso 5.3.3.5

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$y' = \frac{- 1 + 3 {(x - y - 1)}^{2}}{3 {(x - y - 1)}^{2}}$

Paso 5.3.3.6

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$y' = \frac{- 1 (1) + 3 {(x - y - 1)}^{2}}{3 {(x - y - 1)}^{2}}$

Paso 5.3.3.7

Factoriza $- 1$ de $3 {(x - y - 1)}^{2}$ .

$y' = \frac{- 1 (1) - (- 3 {(x - y - 1)}^{2})}{3 {(x - y - 1)}^{2}}$

Paso 5.3.3.8

Factoriza $- 1$ de $- 1 (1) - (- 3 {(x - y - 1)}^{2})$ .

$y' = \frac{- 1 (1 - 3 {(x - y - 1)}^{2})}{3 {(x - y - 1)}^{2}}$

Paso 5.3.3.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{1 - 3 {(x - y - 1)}^{2}}{3 {(x - y - 1)}^{2}}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1 - 3 {(x - y - 1)}^{2}}{3 {(x - y - 1)}^{2}}$