Cálculo Ejemplos

${(x^{2} + y^{2})}^{2} = \frac{25}{4} \cdot (x y^{2})$

Paso 1

Elimina los paréntesis.

${(x^{2} + y^{2})}^{2} = \frac{25}{4} \cdot (x y^{2})$

Paso 2

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} ({(x^{2} + y^{2})}^{2}) = \frac{d}{d x} (\frac{25}{4} \cdot (x y^{2}))$

Paso 3

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = x^{2} + y^{2}$ .

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Paso 3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Paso 3.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Paso 3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x^{2} + y^{2}$ .

$2 (x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Paso 3.2

Diferencia.

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Paso 3.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + y^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$2 (x^{2} + y^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 (x^{2} + y^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $y$ .

$2 (x^{2} + y^{2}) (2 x + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

Paso 3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $y$ .

$2 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y])$

Paso 3.4

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 y y')$

Paso 3.5

Simplifica.

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Paso 3.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) (2 x + 2 y y')$

Paso 3.5.2

Reordena los factores de $(2 x^{2} + 2 y^{2}) (2 x + 2 y y')$ .

$(2 x + 2 y y') (2 x^{2} + 2 y^{2})$

Paso 4

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 4.1.1

Combina $x$ y $\frac{25}{4}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x \cdot 25}{4} \cdot y^{2}]$

Paso 4.1.2

Combina fracciones.

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Paso 4.1.2.1

Combina $\frac{x \cdot 25}{4}$ y $y^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x \cdot 25 y^{2}}{4}]$

Paso 4.1.2.2

Mueve $25$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{25 \cdot x y^{2}}{4}]$

Paso 4.1.3

Como $\frac{25}{4}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{25 x y^{2}}{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{25}{4} \frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

$\frac{25}{4} \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

Paso 4.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y^{2}$ .

$\frac{25}{4} (x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 4.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$\frac{25}{4} (x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{25}{4} (x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$\frac{25}{4} (x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.4

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{25}{4} (2 \cdot x y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.5

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{25}{4} (2 x y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{25}{4} (2 x y y' + y^{2} \cdot 1)$

Paso 4.7

Multiplica $y^{2}$ por $1$ .

$\frac{25}{4} (2 x y y' + y^{2})$

Paso 4.8

Simplifica.

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Paso 4.8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{25}{4} (2 x y y') + \frac{25}{4} y^{2}$

Paso 4.8.2

Combina los términos.

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Paso 4.8.2.1

Combina $2$ y $\frac{25}{4}$ .

$\frac{2 \cdot 25}{4} (x y y') + \frac{25}{4} y^{2}$

Paso 4.8.2.2

Multiplica $2$ por $25$ .

$\frac{50}{4} (x y y') + \frac{25}{4} y^{2}$

Paso 4.8.2.3

Combina $x$ y $\frac{50}{4}$ .

$\frac{x \cdot 50}{4} (y y') + \frac{25}{4} y^{2}$

Paso 4.8.2.4

Combina $y$ y $\frac{x \cdot 50}{4}$ .

$\frac{y (x \cdot 50)}{4} y' + \frac{25}{4} y^{2}$

Paso 4.8.2.5

Combina $\frac{y (x \cdot 50)}{4}$ y $y'$ .

$\frac{y (x \cdot 50) y'}{4} + \frac{25}{4} y^{2}$

Paso 4.8.2.6

Mueve $50$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{y (50 \cdot x) y'}{4} + \frac{25}{4} y^{2}$

Paso 4.8.2.7

Mueve $50$ a la izquierda de $y$ .

$\frac{50 \cdot y x y'}{4} + \frac{25}{4} y^{2}$

Paso 4.8.2.8

Cancela el factor común de $50$ y $4$ .

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Paso 4.8.2.8.1

Factoriza $2$ de $50 y x y'$ .

$\frac{2 (25 y x y')}{4} + \frac{25}{4} y^{2}$

Paso 4.8.2.8.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.8.2.8.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{2 (25 y x y')}{2 (2)} + \frac{25}{4} y^{2}$

Paso 4.8.2.8.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (25 y x y')}{2 \cdot 2} + \frac{25}{4} y^{2}$

Paso 4.8.2.8.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{25 y x y'}{2} + \frac{25}{4} y^{2}$

Paso 5

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$(2 x + 2 y y') (2 x^{2} + 2 y^{2}) = \frac{25 y x y'}{2} + \frac{25}{4} y^{2}$

Paso 6

Resuelve $y'$

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Paso 6.1

Simplifica $(2 x + 2 y y') (2 x^{2} + 2 y^{2})$ .

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Paso 6.1.1

Reescribe.

$0 + 0 + (2 x + 2 y y') (2 x^{2} + 2 y^{2}) = \frac{25 y x y'}{2} + \frac{25}{4} y^{2}$

Paso 6.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$(2 x + 2 y y') (2 x^{2} + 2 y^{2}) = \frac{25 y x y'}{2} + \frac{25}{4} y^{2}$

Paso 6.1.3

Expande $(2 x + 2 y y') (2 x^{2} + 2 y^{2})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 6.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x (2 x^{2} + 2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2} + 2 y^{2}) = \frac{25 y x y'}{2} + \frac{25}{4} y^{2}$

Paso 6.1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x (2 x^{2}) + 2 x (2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2} + 2 y^{2}) = \frac{25 y x y'}{2} + \frac{25}{4} y^{2}$

Paso 6.1.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x (2 x^{2}) + 2 x (2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = \frac{25 y x y'}{2} + \frac{25}{4} y^{2}$

Paso 6.1.4

Simplifica cada término.

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Paso 6.1.4.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 \cdot 2 x \cdot x^{2} + 2 x (2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = \frac{25 y x y'}{2} + \frac{25}{4} y^{2}$

Paso 6.1.4.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.1.4.2.1

Mueve $x^{2}$ .

$2 \cdot 2 (x^{2} x) + 2 x (2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = \frac{25 y x y'}{2} + \frac{25}{4} y^{2}$

Paso 6.1.4.2.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 6.1.4.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$2 \cdot 2 (x^{2} x^{1}) + 2 x (2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = \frac{25 y x y'}{2} + \frac{25}{4} y^{2}$

Paso 6.1.4.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 \cdot 2 x^{2 + 1} + 2 x (2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = \frac{25 y x y'}{2} + \frac{25}{4} y^{2}$

Paso 6.1.4.2.3

Suma $2$ y $1$ .

$2 \cdot 2 x^{3} + 2 x (2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = \frac{25 y x y'}{2} + \frac{25}{4} y^{2}$

Paso 6.1.4.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 x^{3} + 2 x (2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = \frac{25 y x y'}{2} + \frac{25}{4} y^{2}$

Paso 6.1.4.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$4 x^{3} + 2 \cdot 2 x y^{2} + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = \frac{25 y x y'}{2} + \frac{25}{4} y^{2}$

Paso 6.1.4.5

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 x^{3} + 4 x y^{2} + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = \frac{25 y x y'}{2} + \frac{25}{4} y^{2}$

Paso 6.1.4.6

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 x^{3} + 4 x y^{2} + 4 y y' x^{2} + 2 y y' (2 y^{2}) = \frac{25 y x y'}{2} + \frac{25}{4} y^{2}$

Paso 6.1.4.7

Multiplica $y$ por $y^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.1.4.7.1

Mueve $y^{2}$ .

$4 x^{3} + 4 x y^{2} + 4 y y' x^{2} + 2 (y^{2} y) y' \cdot 2 = \frac{25 y x y'}{2} + \frac{25}{4} y^{2}$

Paso 6.1.4.7.2

Multiplica $y^{2}$ por $y$ .

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Paso 6.1.4.7.2.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$4 x^{3} + 4 x y^{2} + 4 y y' x^{2} + 2 (y^{2} y^{1}) y' \cdot 2 = \frac{25 y x y'}{2} + \frac{25}{4} y^{2}$

Paso 6.1.4.7.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$4 x^{3} + 4 x y^{2} + 4 y y' x^{2} + 2 y^{2 + 1} y' \cdot 2 = \frac{25 y x y'}{2} + \frac{25}{4} y^{2}$

Paso 6.1.4.7.3

Suma $2$ y $1$ .

$4 x^{3} + 4 x y^{2} + 4 y y' x^{2} + 2 y^{3} y' \cdot 2 = \frac{25 y x y'}{2} + \frac{25}{4} y^{2}$

Paso 6.1.4.8

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 x^{3} + 4 x y^{2} + 4 y y' x^{2} + 4 y^{3} y' = \frac{25 y x y'}{2} + \frac{25}{4} y^{2}$

Paso 6.2

Combina $\frac{25}{4}$ y $y^{2}$ .

$4 x^{3} + 4 x y^{2} + 4 y y' x^{2} + 4 y^{3} y' = \frac{25 y x y'}{2} + \frac{25 y^{2}}{4}$

Paso 6.3

Resta $\frac{25 y x y'}{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$4 x^{3} + 4 x y^{2} + 4 y y' x^{2} + 4 y^{3} y' - \frac{25 y x y'}{2} = \frac{25 y^{2}}{4}$

Paso 6.4

Mueve todos los términos que no contengan $y'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 6.4.1

Resta $4 x^{3}$ de ambos lados de la ecuación.

$4 x y^{2} + 4 y y' x^{2} + 4 y^{3} y' - \frac{25 y x y'}{2} = \frac{25 y^{2}}{4} - 4 x^{3}$

Paso 6.4.2

Resta $4 x y^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$4 y y' x^{2} + 4 y^{3} y' - \frac{25 y x y'}{2} = \frac{25 y^{2}}{4} - 4 x^{3} - 4 x y^{2}$

Paso 6.5

Factoriza $y y'$ de $4 y y' x^{2} + 4 y^{3} y' - \frac{25 y x y'}{2}$ .

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Paso 6.5.1

Factoriza $y y'$ de $4 y y' x^{2}$ .

$y y' (4 x^{2}) + 4 y^{3} y' - \frac{25 y x y'}{2} = \frac{25 y^{2}}{4} - 4 x^{3} - 4 x y^{2}$

Paso 6.5.2

Factoriza $y y'$ de $4 y^{3} y'$ .

$y y' (4 x^{2}) + y y' (4 y^{2}) - \frac{25 y x y'}{2} = \frac{25 y^{2}}{4} - 4 x^{3} - 4 x y^{2}$

Paso 6.5.3

Factoriza $y y'$ de $- \frac{25 y x y'}{2}$ .

$y y' (4 x^{2}) + y y' (4 y^{2}) + y y' (- \frac{25 x}{2}) = \frac{25 y^{2}}{4} - 4 x^{3} - 4 x y^{2}$

Paso 6.5.4

Factoriza $y y'$ de $y y' (4 x^{2}) + y y' (4 y^{2})$ .

$y y' (4 x^{2} + 4 y^{2}) + y y' (- \frac{25 x}{2}) = \frac{25 y^{2}}{4} - 4 x^{3} - 4 x y^{2}$

Paso 6.5.5

Factoriza $y y'$ de $y y' (4 x^{2} + 4 y^{2}) + y y' (- \frac{25 x}{2})$ .

$y y' (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2}) = \frac{25 y^{2}}{4} - 4 x^{3} - 4 x y^{2}$

Paso 6.6

Divide cada término en $y y' (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2}) = \frac{25 y^{2}}{4} - 4 x^{3} - 4 x y^{2}$ por $y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})$ y simplifica.

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Paso 6.6.1

Divide cada término en $y y' (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2}) = \frac{25 y^{2}}{4} - 4 x^{3} - 4 x y^{2}$ por $y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})$ .

$\frac{y y' (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})} = \frac{\frac{25 y^{2}}{4}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})} + \frac{- 4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})} + \frac{- 4 x y^{2}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

Paso 6.6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.6.2.1

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 6.6.2.1.1

Cancela el factor común.

Paso 6.6.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}{4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2}} = \frac{\frac{25 y^{2}}{4}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})} + \frac{- 4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})} + \frac{- 4 x y^{2}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

Paso 6.6.2.2

Cancela el factor común de $4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2}$ .

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Paso 6.6.2.2.1

Cancela el factor común.

Paso 6.6.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{\frac{25 y^{2}}{4}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})} + \frac{- 4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})} + \frac{- 4 x y^{2}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

Paso 6.6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.6.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{\frac{25 y^{2}}{4} - 4 x^{3} - 4 x y^{2}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

Paso 6.6.3.2

Reordena los factores de $- 4 x y^{2}$ .

$y' = \frac{\frac{25 y^{2}}{4} - 4 x^{3} - 4 y^{2} x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

Paso 6.6.3.3

Resta $4 y^{2} x$ de $\frac{25 y^{2}}{4}$ .

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Paso 6.6.3.3.1

Reordena $\frac{25 y^{2}}{4}$ y $- 4 x y^{2}$ .

$y' = \frac{- 4 x^{3} - 4 x y^{2} + \frac{25 y^{2}}{4}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

Paso 6.6.3.3.2

Para escribir $- 4 x y^{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$y' = \frac{- 4 x^{3} - 4 x y^{2} \cdot \frac{4}{4} + \frac{25 y^{2}}{4}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

Paso 6.6.3.3.3

Combina $- 4 x y^{2}$ y $\frac{4}{4}$ .

$y' = \frac{- 4 x^{3} + \frac{- 4 x y^{2} \cdot 4}{4} + \frac{25 y^{2}}{4}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

Paso 6.6.3.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{- 4 x^{3} + \frac{- 4 x y^{2} \cdot 4 + 25 y^{2}}{4}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

Paso 6.6.3.4

Simplifica el numerador.

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Paso 6.6.3.4.1

Factoriza $y^{2}$ de $- 4 x y^{2} \cdot 4 + 25 y^{2}$ .

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Paso 6.6.3.4.1.1

Factoriza $y^{2}$ de $- 4 x y^{2} \cdot 4$ .

$y' = \frac{- 4 x^{3} + \frac{y^{2} (- 4 x \cdot 4) + 25 y^{2}}{4}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

Paso 6.6.3.4.1.2

Factoriza $y^{2}$ de $25 y^{2}$ .

$y' = \frac{- 4 x^{3} + \frac{y^{2} (- 4 x \cdot 4) + y^{2} \cdot 25}{4}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

Paso 6.6.3.4.1.3

Factoriza $y^{2}$ de $y^{2} (- 4 x \cdot 4) + y^{2} \cdot 25$ .

$y' = \frac{- 4 x^{3} + \frac{y^{2} (- 4 x \cdot 4 + 25)}{4}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

Paso 6.6.3.4.2

Multiplica $4$ por $- 4$ .

$y' = \frac{- 4 x^{3} + \frac{y^{2} (- 16 x + 25)}{4}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

Paso 6.6.3.5

Para escribir $- 4 x^{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$y' = \frac{- 4 x^{3} \cdot \frac{4}{4} + \frac{y^{2} (- 16 x + 25)}{4}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

Paso 6.6.3.6

Simplifica los términos.

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Paso 6.6.3.6.1

Combina $- 4 x^{3}$ y $\frac{4}{4}$ .

$y' = \frac{\frac{- 4 x^{3} \cdot 4}{4} + \frac{y^{2} (- 16 x + 25)}{4}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

Paso 6.6.3.6.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{\frac{- 4 x^{3} \cdot 4 + y^{2} (- 16 x + 25)}{4}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

Paso 6.6.3.7

Simplifica el numerador.

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Paso 6.6.3.7.1

Multiplica $4$ por $- 4$ .

$y' = \frac{\frac{- 16 x^{3} + y^{2} (- 16 x + 25)}{4}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

Paso 6.6.3.7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y' = \frac{\frac{- 16 x^{3} + y^{2} (- 16 x) + y^{2} \cdot 25}{4}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

Paso 6.6.3.7.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y' = \frac{\frac{- 16 x^{3} - 16 y^{2} x + y^{2} \cdot 25}{4}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

Paso 6.6.3.7.4

Mueve $25$ a la izquierda de $y^{2}$ .

$y' = \frac{\frac{- 16 x^{3} - 16 y^{2} x + 25 y^{2}}{4}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

Paso 6.6.3.8

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 6.6.3.8.1

Factoriza $- 1$ de $- 16 x^{3}$ .

$y' = \frac{\frac{- (16 x^{3}) - 16 y^{2} x + 25 y^{2}}{4}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

Paso 6.6.3.8.2

Factoriza $- 1$ de $- 16 y^{2} x$ .

$y' = \frac{\frac{- (16 x^{3}) - (16 y^{2} x) + 25 y^{2}}{4}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

Paso 6.6.3.8.3

Factoriza $- 1$ de $- (16 x^{3}) - (16 y^{2} x)$ .

$y' = \frac{\frac{- (16 x^{3} + 16 y^{2} x) + 25 y^{2}}{4}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

Paso 6.6.3.8.4

Factoriza $- 1$ de $25 y^{2}$ .

$y' = \frac{\frac{- (16 x^{3} + 16 y^{2} x) - (- 25 y^{2})}{4}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

Paso 6.6.3.8.5

Factoriza $- 1$ de $- (16 x^{3} + 16 y^{2} x) - (- 25 y^{2})$ .

$y' = \frac{\frac{- (16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2})}{4}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

Paso 6.6.3.8.6

Simplifica la expresión.

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Paso 6.6.3.8.6.1

Reescribe $- (16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2})$ como $- 1 (16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2})$ .

$y' = \frac{\frac{- 1 (16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2})}{4}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

Paso 6.6.3.8.6.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = \frac{- \frac{16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2}}{4}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

Paso 6.6.3.9

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$y' = - \frac{16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2}}{4} \cdot \frac{1}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

Paso 6.6.3.10

Simplifica el denominador.

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Paso 6.6.3.10.1

Para escribir $4 x^{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2}}{4} \cdot \frac{1}{y (4 y^{2} + 4 x^{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{25 x}{2})}$

Paso 6.6.3.10.2

Combina $4 x^{2}$ y $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2}}{4} \cdot \frac{1}{y (4 y^{2} + \frac{4 x^{2} \cdot 2}{2} - \frac{25 x}{2})}$

Paso 6.6.3.10.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = - \frac{16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2}}{4} \cdot \frac{1}{y (4 y^{2} + \frac{4 x^{2} \cdot 2 - 25 x}{2})}$

Paso 6.6.3.10.4

Simplifica el numerador.

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Paso 6.6.3.10.4.1

Factoriza $x$ de $4 x^{2} \cdot 2 - 25 x$ .

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Paso 6.6.3.10.4.1.1

Factoriza $x$ de $4 x^{2} \cdot 2$ .

$y' = - \frac{16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2}}{4} \cdot \frac{1}{y (4 y^{2} + \frac{x (4 x \cdot 2) - 25 x}{2})}$

Paso 6.6.3.10.4.1.2

Factoriza $x$ de $- 25 x$ .

$y' = - \frac{16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2}}{4} \cdot \frac{1}{y (4 y^{2} + \frac{x (4 x \cdot 2) + x \cdot - 25}{2})}$

Paso 6.6.3.10.4.1.3

Factoriza $x$ de $x (4 x \cdot 2) + x \cdot - 25$ .

$y' = - \frac{16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2}}{4} \cdot \frac{1}{y (4 y^{2} + \frac{x (4 x \cdot 2 - 25)}{2})}$

Paso 6.6.3.10.4.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$y' = - \frac{16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2}}{4} \cdot \frac{1}{y (4 y^{2} + \frac{x (8 x - 25)}{2})}$

Paso 6.6.3.10.5

Para escribir $4 y^{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2}}{4} \cdot \frac{1}{y (4 y^{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{x (8 x - 25)}{2})}$

Paso 6.6.3.10.6

Combina $4 y^{2}$ y $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2}}{4} \cdot \frac{1}{y (\frac{4 y^{2} \cdot 2}{2} + \frac{x (8 x - 25)}{2})}$

Paso 6.6.3.10.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = - \frac{16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2}}{4} \cdot \frac{1}{y \frac{4 y^{2} \cdot 2 + x (8 x - 25)}{2}}$

Paso 6.6.3.10.8

Simplifica el numerador.

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Paso 6.6.3.10.8.1

Multiplica $2$ por $4$ .

$y' = - \frac{16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2}}{4} \cdot \frac{1}{y \frac{8 y^{2} + x (8 x - 25)}{2}}$

Paso 6.6.3.10.8.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y' = - \frac{16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2}}{4} \cdot \frac{1}{y \frac{8 y^{2} + x (8 x) + x \cdot - 25}{2}}$

Paso 6.6.3.10.8.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y' = - \frac{16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2}}{4} \cdot \frac{1}{y \frac{8 y^{2} + 8 x \cdot x + x \cdot - 25}{2}}$

Paso 6.6.3.10.8.4

Mueve $- 25$ a la izquierda de $x$ .

$y' = - \frac{16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2}}{4} \cdot \frac{1}{y \frac{8 y^{2} + 8 x \cdot x - 25 \cdot x}{2}}$

Paso 6.6.3.10.8.5

Simplifica cada término.

$y' = - \frac{16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2}}{4} \cdot \frac{1}{y \frac{8 y^{2} + 8 x^{2} - 25 x}{2}}$

Paso 6.6.3.11

Combina $y$ y $\frac{8 y^{2} + 8 x^{2} - 25 x}{2}$ .

$y' = - \frac{16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2}}{4} \cdot \frac{1}{\frac{y (8 y^{2} + 8 x^{2} - 25 x)}{2}}$

Paso 6.6.3.12

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$y' = - \frac{16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2}}{4} (1 \frac{2}{y (8 y^{2} + 8 x^{2} - 25 x)})$

Paso 6.6.3.13

Multiplica $\frac{2}{y (8 y^{2} + 8 x^{2} - 25 x)}$ por $1$ .

$y' = - \frac{16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2}}{4} \cdot \frac{2}{y (8 y^{2} + 8 x^{2} - 25 x)}$

Paso 6.6.3.14

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.6.3.14.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2}}{4}$ al numerador.

$y' = \frac{- (16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2})}{4} \cdot \frac{2}{y (8 y^{2} + 8 x^{2} - 25 x)}$

Paso 6.6.3.14.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$y' = \frac{- (16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2})}{2 (2)} \cdot \frac{2}{y (8 y^{2} + 8 x^{2} - 25 x)}$

Paso 6.6.3.14.3

Cancela el factor común.

$y' = \frac{- (16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2})}{2 \cdot 2} \cdot \frac{2}{y (8 y^{2} + 8 x^{2} - 25 x)}$

Paso 6.6.3.14.4

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{- (16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2})}{2} \cdot \frac{1}{y (8 y^{2} + 8 x^{2} - 25 x)}$

Paso 6.6.3.15

Multiplica $\frac{- (16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2})}{2}$ por $\frac{1}{y (8 y^{2} + 8 x^{2} - 25 x)}$ .

$y' = \frac{- (16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2})}{2 (y (8 y^{2} + 8 x^{2} - 25 x))}$

Paso 6.6.3.16

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2}}{2 y (8 y^{2} + 8 x^{2} - 25 x)}$

Paso 7

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2}}{2 y (8 y^{2} + 8 x^{2} - 25 x)}$