Cálculo Ejemplos

$e^{\cos (y)} = x^{9} \arctan (y)$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d c} (e^{\cos (y)}) = \frac{d}{d c} (x^{9} \arctan (y))$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d c} [f (g (c))]$ es $f' (g (c)) g' (c)$ donde $f (c) = e^{c}$ y $g (c) = \cos (y)$ .

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Paso 2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\cos (y)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d c} [\cos (y)]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d c} [\cos (y)]$

Paso 2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\cos (y)$ .

$e^{\cos (y)} \frac{d}{d c} [\cos (y)]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d c} [f (g (c))]$ es $f' (g (c)) g' (c)$ donde $f (c) = \cos (c)$ y $g (c) = y$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $y$ .

$e^{\cos (y)} (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d c} [y])$

Paso 2.2.2

La derivada de $\cos (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $- \sin (u_{2})$ .

$e^{\cos (y)} (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d c} [y])$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $y$ .

$e^{\cos (y)} (- \sin (y) \frac{d}{d c} [y])$

Paso 2.3

Reescribe $\frac{d}{d c} [y]$ como $y'$ .

$e^{\cos (y)} (- \sin (y) y')$

Paso 2.4

Reordena los factores de $e^{\cos (y)} (- \sin (y) y')$ .

$- e^{\cos (y)} \sin (y) y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Como $x^{9}$ es constante con respecto a $c$ , la derivada de $x^{9} \arctan (y)$ con respecto a $c$ es $x^{9} \frac{d}{d c} [\arctan (y)]$ .

$x^{9} \frac{d}{d c} [\arctan (y)]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d c} [f (g (c))]$ es $f' (g (c)) g' (c)$ donde $f (c) = \arctan (c)$ y $g (c) = y$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$x^{9} (\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d c} [y])$

Paso 3.2.2

La derivada de $\arctan (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$x^{9} (\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d c} [y])$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$x^{9} (\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d}{d c} [y])$

Paso 3.3

Combina $\frac{1}{1 + y^{2}}$ y $x^{9}$ .

$\frac{x^{9}}{1 + y^{2}} \frac{d}{d c} [y]$

Paso 3.4

Reescribe $\frac{d}{d c} [y]$ como $y'$ .

$\frac{x^{9}}{1 + y^{2}} y'$

Paso 3.5

Combina $\frac{x^{9}}{1 + y^{2}}$ y $y'$ .

$\frac{x^{9} y'}{1 + y^{2}}$

Paso 3.6

Reordena los términos.

$\frac{x^{9} y'}{y^{2} + 1}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$- e^{\cos (y)} \sin (y) y' = \frac{x^{9} y'}{y^{2} + 1}$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Multiplica ambos lados por $y^{2} + 1$ .

$- e^{\cos (y)} \sin (y) y' (y^{2} + 1) = \frac{x^{9} y'}{y^{2} + 1} (y^{2} + 1)$

Paso 5.2

Simplifica.

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Paso 5.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1.1

Simplifica $- e^{\cos (y)} \sin (y) y' (y^{2} + 1)$ .

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Paso 5.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- e^{\cos (y)} \sin (y) y' y^{2} - e^{\cos (y)} \sin (y) y' \cdot 1 = \frac{x^{9} y'}{y^{2} + 1} (y^{2} + 1)$

Paso 5.2.1.1.2

Simplifica la expresión.

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Paso 5.2.1.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- e^{\cos (y)} \sin (y) y' y^{2} - e^{\cos (y)} \sin (y) y' = \frac{x^{9} y'}{y^{2} + 1} (y^{2} + 1)$

Paso 5.2.1.1.2.2

Reordena los factores en $- e^{\cos (y)} \sin (y) y' y^{2} - e^{\cos (y)} \sin (y) y'$ .

$- y' y^{2} e^{\cos (y)} \sin (y) - y' e^{\cos (y)} \sin (y) = \frac{x^{9} y'}{y^{2} + 1} (y^{2} + 1)$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.2.1

Cancela el factor común de $y^{2} + 1$ .

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Paso 5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$- y' y^{2} e^{\cos (y)} \sin (y) - y' e^{\cos (y)} \sin (y) = \frac{x^{9} y'}{y^{2} + 1} (y^{2} + 1)$

Paso 5.2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$- y' y^{2} e^{\cos (y)} \sin (y) - y' e^{\cos (y)} \sin (y) = x^{9} y'$

Paso 5.3

Resuelve $y'$

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Paso 5.3.1

Resta $x^{9} y'$ de ambos lados de la ecuación.

$- y' y^{2} e^{\cos (y)} \sin (y) - y' e^{\cos (y)} \sin (y) - x^{9} y' = 0$

Paso 5.3.2

Factoriza $y'$ de $- y' y^{2} e^{\cos (y)} \sin (y) - y' e^{\cos (y)} \sin (y) - x^{9} y'$ .

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Paso 5.3.2.1

Factoriza $y'$ de $- y' y^{2} e^{\cos (y)} \sin (y)$ .

$y' (- 1 y^{2} e^{\cos (y)} \sin (y)) - y' e^{\cos (y)} \sin (y) - x^{9} y' = 0$

Paso 5.3.2.2

Factoriza $y'$ de $- y' e^{\cos (y)} \sin (y)$ .

$y' (- 1 y^{2} e^{\cos (y)} \sin (y)) + y' (- 1 e^{\cos (y)} \sin (y)) - x^{9} y' = 0$

Paso 5.3.2.3

Factoriza $y'$ de $- x^{9} y'$ .

$y' (- 1 y^{2} e^{\cos (y)} \sin (y)) + y' (- 1 e^{\cos (y)} \sin (y)) + y' (- x^{9}) = 0$

Paso 5.3.2.4

Factoriza $y'$ de $y' (- 1 y^{2} e^{\cos (y)} \sin (y)) + y' (- 1 e^{\cos (y)} \sin (y))$ .

$y' (- 1 y^{2} e^{\cos (y)} \sin (y) - 1 e^{\cos (y)} \sin (y)) + y' (- x^{9}) = 0$

Paso 5.3.2.5

Factoriza $y'$ de $y' (- 1 y^{2} e^{\cos (y)} \sin (y) - 1 e^{\cos (y)} \sin (y)) + y' (- x^{9})$ .

$y' (- 1 y^{2} e^{\cos (y)} \sin (y) - 1 e^{\cos (y)} \sin (y) - x^{9}) = 0$

Paso 5.3.3

Reescribe $- 1 y^{2}$ como $- y^{2}$ .

$y' (- y^{2} e^{\cos (y)} \sin (y) - 1 e^{\cos (y)} \sin (y) - x^{9}) = 0$

Paso 5.3.4

Reescribe $- 1 e^{\cos (y)}$ como $- e^{\cos (y)}$ .

$y' (- y^{2} e^{\cos (y)} \sin (y) - e^{\cos (y)} \sin (y) - x^{9}) = 0$

Paso 5.3.5

Divide cada término en $y' (- y^{2} e^{\cos (y)} \sin (y) - e^{\cos (y)} \sin (y) - x^{9}) = 0$ por $- y^{2} e^{\cos (y)} \sin (y) - e^{\cos (y)} \sin (y) - x^{9}$ y simplifica.

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Paso 5.3.5.1

Divide cada término en $y' (- y^{2} e^{\cos (y)} \sin (y) - e^{\cos (y)} \sin (y) - x^{9}) = 0$ por $- y^{2} e^{\cos (y)} \sin (y) - e^{\cos (y)} \sin (y) - x^{9}$ .

$\frac{y' (- y^{2} e^{\cos (y)} \sin (y) - e^{\cos (y)} \sin (y) - x^{9})}{- y^{2} e^{\cos (y)} \sin (y) - e^{\cos (y)} \sin (y) - x^{9}} = \frac{0}{- y^{2} e^{\cos (y)} \sin (y) - e^{\cos (y)} \sin (y) - x^{9}}$

Paso 5.3.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.5.2.1

Cancela el factor común de $- y^{2} e^{\cos (y)} \sin (y) - e^{\cos (y)} \sin (y) - x^{9}$ .

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Paso 5.3.5.2.1.1

Cancela el factor común.

Paso 5.3.5.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{0}{- y^{2} e^{\cos (y)} \sin (y) - e^{\cos (y)} \sin (y) - x^{9}}$

Paso 5.3.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.5.3.1

Divide $0$ por $- y^{2} e^{\cos (y)} \sin (y) - e^{\cos (y)} \sin (y) - x^{9}$ .

$y' = 0$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d c}$ .

$\frac{d y}{d c} = 0$