Cálculo Ejemplos

$y = \tan (\ln (a x + b))$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d b} (y) = \frac{d}{d b} (\tan (\ln (a x + b)))$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $b$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d b} [f (g (b))]$ es $f' (g (b)) g' (b)$ donde $f (b) = \tan (b)$ y $g (b) = \ln (a x + b)$ .

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Paso 3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\ln (a x + b)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d b} [\ln (a x + b)]$

Paso 3.1.2

La derivada de $\tan (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\sec^{2} (u_{1})$ .

$\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d b} [\ln (a x + b)]$

Paso 3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\ln (a x + b)$ .

$\sec^{2} (\ln (a x + b)) \frac{d}{d b} [\ln (a x + b)]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d b} [f (g (b))]$ es $f' (g (b)) g' (b)$ donde $f (b) = \ln (b)$ y $g (b) = a x + b$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $a x + b$ .

$\sec^{2} (\ln (a x + b)) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d b} [a x + b])$

Paso 3.2.2

La derivada de $\ln (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\sec^{2} (\ln (a x + b)) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d b} [a x + b])$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $a x + b$ .

$\sec^{2} (\ln (a x + b)) (\frac{1}{a x + b} \frac{d}{d b} [a x + b])$

Paso 3.3

Diferencia.

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Paso 3.3.1

Combina $\frac{1}{a x + b}$ y $\sec^{2} (\ln (a x + b))$ .

$\frac{\sec^{2} (\ln (a x + b))}{a x + b} \frac{d}{d b} [a x + b]$

Paso 3.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $a x + b$ con respecto a $b$ es $\frac{d}{d b} [a x] + \frac{d}{d b} [b]$ .

$\frac{\sec^{2} (\ln (a x + b))}{a x + b} (\frac{d}{d b} [a x] + \frac{d}{d b} [b])$

Paso 3.3.3

Como $a x$ es constante con respecto a $b$ , la derivada de $a x$ con respecto a $b$ es $0$ .

$\frac{\sec^{2} (\ln (a x + b))}{a x + b} (0 + \frac{d}{d b} [b])$

Paso 3.3.4

Suma $0$ y $\frac{d}{d b} [b]$ .

$\frac{\sec^{2} (\ln (a x + b))}{a x + b} \frac{d}{d b} [b]$

Paso 3.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d b} [b^{n}]$ es $n b^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\sec^{2} (\ln (a x + b))}{a x + b} \cdot 1$

Paso 3.3.6

Simplifica la expresión.

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Paso 3.3.6.1

Multiplica $\frac{\sec^{2} (\ln (a x + b))}{a x + b}$ por $1$ .

$\frac{\sec^{2} (\ln (a x + b))}{a x + b}$

Paso 3.3.6.2

Reordena los términos.

$\frac{\sec^{2} (\ln (a x + b))}{b + a x}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = \frac{\sec^{2} (\ln (a x + b))}{b + a x}$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d b}$ .

$\frac{d y}{d b} = \frac{\sec^{2} (\ln (a x + b))}{b + a x}$