Cálculo Ejemplos

$y = \frac{7 \tan (t)}{5 + 5 \sec (t)}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (\frac{7 \tan (t)}{5 + 5 \sec (t)})$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $t$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Como $7$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $\frac{7 \tan (t)}{5 + 5 \sec (t)}$ con respecto a $t$ es $7 \frac{d}{d t} [\frac{\tan (t)}{5 + 5 \sec (t)}]$ .

$7 \frac{d}{d t} [\frac{\tan (t)}{5 + 5 \sec (t)}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ es $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ donde $f (t) = \tan (t)$ y $g (t) = 5 + 5 \sec (t)$ .

$7 \frac{(5 + 5 \sec (t)) \frac{d}{d t} [\tan (t)] - \tan (t) \frac{d}{d t} [5 + 5 \sec (t)]}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Paso 3.3

La derivada de $\tan (t)$ con respecto a $t$ es $\sec^{2} (t)$ .

$7 \frac{(5 + 5 \sec (t)) \sec^{2} (t) - \tan (t) \frac{d}{d t} [5 + 5 \sec (t)]}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Paso 3.4

Diferencia.

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Paso 3.4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $5 + 5 \sec (t)$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [5] + \frac{d}{d t} [5 \sec (t)]$ .

$7 \frac{(5 + 5 \sec (t)) \sec^{2} (t) - \tan (t) (\frac{d}{d t} [5] + \frac{d}{d t} [5 \sec (t)])}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Paso 3.4.2

Como $5$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $5$ con respecto a $t$ es $0$ .

$7 \frac{(5 + 5 \sec (t)) \sec^{2} (t) - \tan (t) (0 + \frac{d}{d t} [5 \sec (t)])}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Paso 3.4.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d t} [5 \sec (t)]$ .

$7 \frac{(5 + 5 \sec (t)) \sec^{2} (t) - \tan (t) \frac{d}{d t} [5 \sec (t)]}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Paso 3.4.4

Como $5$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $5 \sec (t)$ con respecto a $t$ es $5 \frac{d}{d t} [\sec (t)]$ .

$7 \frac{(5 + 5 \sec (t)) \sec^{2} (t) - \tan (t) (5 \frac{d}{d t} [\sec (t)])}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Paso 3.4.5

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$7 \frac{(5 + 5 \sec (t)) \sec^{2} (t) - 5 \tan (t) \frac{d}{d t} [\sec (t)]}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Paso 3.5

La derivada de $\sec (t)$ con respecto a $t$ es $\sec (t) \tan (t)$ .

$7 \frac{(5 + 5 \sec (t)) \sec^{2} (t) - 5 \tan (t) (\sec (t) \tan (t))}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Paso 3.6

Eleva $\tan (t)$ a la potencia de $1$ .

$7 \frac{(5 + 5 \sec (t)) \sec^{2} (t) - 5 (\tan^{1} (t) \tan (t)) \sec (t)}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Paso 3.7

Eleva $\tan (t)$ a la potencia de $1$ .

$7 \frac{(5 + 5 \sec (t)) \sec^{2} (t) - 5 (\tan^{1} (t) \tan^{1} (t)) \sec (t)}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Paso 3.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$7 \frac{(5 + 5 \sec (t)) \sec^{2} (t) - 5 {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t)}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Paso 3.9

Suma $1$ y $1$ .

$7 \frac{(5 + 5 \sec (t)) \sec^{2} (t) - 5 \tan^{2} (t) \sec (t)}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Paso 3.10

Combina $7$ y $\frac{(5 + 5 \sec (t)) \sec^{2} (t) - 5 \tan^{2} (t) \sec (t)}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$ .

$\frac{7 ((5 + 5 \sec (t)) \sec^{2} (t) - 5 \tan^{2} (t) \sec (t))}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Paso 3.11

Simplifica.

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Paso 3.11.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{7 (5 \sec^{2} (t) + 5 \sec (t) \sec^{2} (t) - 5 \tan^{2} (t) \sec (t))}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Paso 3.11.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{7 (5 \sec^{2} (t)) + 7 (5 \sec (t) \sec^{2} (t)) + 7 (- 5 \tan^{2} (t) \sec (t))}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Paso 3.11.3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.11.3.1

Factoriza $7 \sec (t)$ de $7 (5 \sec^{2} (t)) + 7 (5 \sec (t) \sec^{2} (t)) + 7 (- 5 \tan^{2} (t) \sec (t))$ .

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Paso 3.11.3.1.1

Factoriza $7 \sec (t)$ de $7 (5 \sec^{2} (t))$ .

$\frac{7 \sec (t) (5 \sec (t)) + 7 (5 \sec (t) \sec^{2} (t)) + 7 (- 5 \tan^{2} (t) \sec (t))}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Paso 3.11.3.1.2

Factoriza $7 \sec (t)$ de $7 (5 \sec (t) \sec^{2} (t))$ .

$\frac{7 \sec (t) (5 \sec (t)) + 7 \sec (t) (5 \sec^{2} (t)) + 7 (- 5 \tan^{2} (t) \sec (t))}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Paso 3.11.3.1.3

Factoriza $7 \sec (t)$ de $7 (- 5 \tan^{2} (t) \sec (t))$ .

$\frac{7 \sec (t) (5 \sec (t)) + 7 \sec (t) (5 \sec^{2} (t)) + 7 \sec (t) (- 5 \tan^{2} (t))}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Paso 3.11.3.1.4

Factoriza $7 \sec (t)$ de $7 \sec (t) (5 \sec (t)) + 7 \sec (t) (5 \sec^{2} (t))$ .

$\frac{7 \sec (t) (5 \sec (t) + 5 \sec^{2} (t)) + 7 \sec (t) (- 5 \tan^{2} (t))}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Paso 3.11.3.1.5

Factoriza $7 \sec (t)$ de $7 \sec (t) (5 \sec (t) + 5 \sec^{2} (t)) + 7 \sec (t) (- 5 \tan^{2} (t))$ .

$\frac{7 \sec (t) (5 \sec (t) + 5 \sec^{2} (t) - 5 \tan^{2} (t))}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Paso 3.11.3.2

Factoriza $5$ de $5 \sec^{2} (t)$ .

$\frac{7 \sec (t) (5 \sec (t) + 5 (\sec^{2} (t)) - 5 \tan^{2} (t))}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Paso 3.11.3.3

Factoriza $5$ de $- 5 \tan^{2} (t)$ .

$\frac{7 \sec (t) (5 \sec (t) + 5 (\sec^{2} (t)) + 5 (- \tan^{2} (t)))}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Paso 3.11.3.4

Factoriza $5$ de $5 (\sec^{2} (t)) + 5 (- \tan^{2} (t))$ .

$\frac{7 \sec (t) (5 \sec (t) + 5 (\sec^{2} (t) - \tan^{2} (t)))}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Paso 3.11.3.5

Aplica la identidad pitagórica.

$\frac{7 \sec (t) (5 \sec (t) + 5 \cdot 1)}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Paso 3.11.3.6

Multiplica $5$ por $1$ .

$\frac{7 \sec (t) (5 \sec (t) + 5)}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Paso 3.11.3.7

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{7 \sec (t) (5 \sec (t)) + 7 \sec (t) \cdot 5}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Paso 3.11.3.8

Multiplica $7 \sec (t) (5 \sec (t))$ .

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Paso 3.11.3.8.1

Multiplica $5$ por $7$ .

$\frac{35 \sec (t) \sec (t) + 7 \sec (t) \cdot 5}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Paso 3.11.3.8.2

Eleva $\sec (t)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{35 (\sec^{1} (t) \sec (t)) + 7 \sec (t) \cdot 5}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Paso 3.11.3.8.3

Eleva $\sec (t)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{35 (\sec^{1} (t) \sec^{1} (t)) + 7 \sec (t) \cdot 5}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Paso 3.11.3.8.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{35 {\sec (t)}^{1 + 1} + 7 \sec (t) \cdot 5}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Paso 3.11.3.8.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{35 \sec^{2} (t) + 7 \sec (t) \cdot 5}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Paso 3.11.3.9

Multiplica $5$ por $7$ .

$\frac{35 \sec^{2} (t) + 35 \sec (t)}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Paso 3.11.4

Factoriza $35 \sec (t)$ de $35 \sec^{2} (t) + 35 \sec (t)$ .

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Paso 3.11.4.1

Factoriza $35 \sec (t)$ de $35 \sec^{2} (t)$ .

$\frac{35 \sec (t) (\sec (t)) + 35 \sec (t)}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Paso 3.11.4.2

Factoriza $35 \sec (t)$ de $35 \sec (t)$ .

$\frac{35 \sec (t) (\sec (t)) + 35 \sec (t) (1)}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Paso 3.11.4.3

Factoriza $35 \sec (t)$ de $35 \sec (t) (\sec (t)) + 35 \sec (t) (1)$ .

$\frac{35 \sec (t) (\sec (t) + 1)}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Paso 3.11.5

Simplifica el denominador.

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Paso 3.11.5.1

Factoriza $5$ de $5 + 5 \sec (t)$ .

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Paso 3.11.5.1.1

Factoriza $5$ de $5$ .

$\frac{35 \sec (t) (\sec (t) + 1)}{{(5 \cdot 1 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Paso 3.11.5.1.2

Factoriza $5$ de $5 \cdot 1 + 5 \sec (t)$ .

$\frac{35 \sec (t) (\sec (t) + 1)}{{(5 (1 + \sec (t)))}^{2}}$

Paso 3.11.5.2

Aplica la regla del producto a $5 (1 + \sec (t))$ .

$\frac{35 \sec (t) (\sec (t) + 1)}{5^{2} {(1 + \sec (t))}^{2}}$

Paso 3.11.5.3

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$\frac{35 \sec (t) (\sec (t) + 1)}{25 {(1 + \sec (t))}^{2}}$

Paso 3.11.6

Cancela el factor común de $35$ y $25$ .

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Paso 3.11.6.1

Factoriza $5$ de $35 \sec (t) (\sec (t) + 1)$ .

$\frac{5 (7 \sec (t) (\sec (t) + 1))}{25 {(1 + \sec (t))}^{2}}$

Paso 3.11.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.11.6.2.1

Factoriza $5$ de $25 {(1 + \sec (t))}^{2}$ .

$\frac{5 (7 \sec (t) (\sec (t) + 1))}{5 (5 {(1 + \sec (t))}^{2})}$

Paso 3.11.6.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{5 (7 \sec (t) (\sec (t) + 1))}{5 (5 {(1 + \sec (t))}^{2})}$

Paso 3.11.6.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{7 \sec (t) (\sec (t) + 1)}{5 {(1 + \sec (t))}^{2}}$

Paso 3.11.7

Cancela el factor común de $\sec (t) + 1$ y ${(1 + \sec (t))}^{2}$ .

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Paso 3.11.7.1

Reordena los términos.

$\frac{7 \sec (t) (1 + \sec (t))}{5 {(1 + \sec (t))}^{2}}$

Paso 3.11.7.2

Factoriza $1 + \sec (t)$ de $7 \sec (t) (1 + \sec (t))$ .

$\frac{(1 + \sec (t)) (7 \sec (t))}{5 {(1 + \sec (t))}^{2}}$

Paso 3.11.7.3

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.11.7.3.1

Factoriza $1 + \sec (t)$ de $5 {(1 + \sec (t))}^{2}$ .

$\frac{(1 + \sec (t)) (7 \sec (t))}{(1 + \sec (t)) (5 (1 + \sec (t)))}$

Paso 3.11.7.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{(1 + \sec (t)) (7 \sec (t))}{(1 + \sec (t)) (5 (1 + \sec (t)))}$

Paso 3.11.7.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{7 \sec (t)}{5 (1 + \sec (t))}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = \frac{7 \sec (t)}{5 (1 + \sec (t))}$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{7 \sec (t)}{5 (1 + \sec (t))}$