Cálculo Ejemplos

$y = e^{\cos^{2} (π t - 9)}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (e^{\cos^{2} (π t - 9)})$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $t$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = e^{t}$ y $g (t) = \cos^{2} (π t - 9)$ .

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Paso 3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\cos^{2} (π t - 9)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [\cos^{2} (π t - 9)]$

Paso 3.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [\cos^{2} (π t - 9)]$

Paso 3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\cos^{2} (π t - 9)$ .

$e^{\cos^{2} (π t - 9)} \frac{d}{d t} [\cos^{2} (π t - 9)]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = t^{2}$ y $g (t) = \cos (π t - 9)$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $\cos (π t - 9)$ .

$e^{\cos^{2} (π t - 9)} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d t} [\cos (π t - 9)])$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$e^{\cos^{2} (π t - 9)} (2 u_{2} \frac{d}{d t} [\cos (π t - 9)])$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $\cos (π t - 9)$ .

$e^{\cos^{2} (π t - 9)} (2 \cos (π t - 9) \frac{d}{d t} [\cos (π t - 9)])$

Paso 3.3

Mueve $2$ a la izquierda de $e^{\cos^{2} (π t - 9)}$ .

$2 \cdot e^{\cos^{2} (π t - 9)} \cos (π t - 9) \frac{d}{d t} [\cos (π t - 9)]$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = \cos (t)$ y $g (t) = π t - 9$ .

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Paso 3.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{3}$ como $π t - 9$ .

$2 e^{\cos^{2} (π t - 9)} \cos (π t - 9) (\frac{d}{d u_{3}} [\cos (u_{3})] \frac{d}{d t} [π t - 9])$

Paso 3.4.2

La derivada de $\cos (u_{3})$ con respecto a $u_{3}$ es $- \sin (u_{3})$ .

$2 e^{\cos^{2} (π t - 9)} \cos (π t - 9) (- \sin (u_{3}) \frac{d}{d t} [π t - 9])$

Paso 3.4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{3}$ con $π t - 9$ .

$2 e^{\cos^{2} (π t - 9)} \cos (π t - 9) (- \sin (π t - 9) \frac{d}{d t} [π t - 9])$

Paso 3.5

Diferencia.

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Paso 3.5.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 2 e^{\cos^{2} (π t - 9)} \cos (π t - 9) (\sin (π t - 9) \frac{d}{d t} [π t - 9])$

Paso 3.5.2

Según la regla de la suma, la derivada de $π t - 9$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [π t] + \frac{d}{d t} [- 9]$ .

$- 2 e^{\cos^{2} (π t - 9)} \cos (π t - 9) \sin (π t - 9) (\frac{d}{d t} [π t] + \frac{d}{d t} [- 9])$

Paso 3.5.3

Como $π$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $π t$ con respecto a $t$ es $π \frac{d}{d t} [t]$ .

$- 2 e^{\cos^{2} (π t - 9)} \cos (π t - 9) \sin (π t - 9) (π \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 9])$

Paso 3.5.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 2 e^{\cos^{2} (π t - 9)} \cos (π t - 9) \sin (π t - 9) (π \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 9])$

Paso 3.5.5

Multiplica $π$ por $1$ .

$- 2 e^{\cos^{2} (π t - 9)} \cos (π t - 9) \sin (π t - 9) (π + \frac{d}{d t} [- 9])$

Paso 3.5.6

Como $- 9$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- 9$ con respecto a $t$ es $0$ .

$- 2 e^{\cos^{2} (π t - 9)} \cos (π t - 9) \sin (π t - 9) (π + 0)$

Paso 3.5.7

Simplifica la expresión.

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Paso 3.5.7.1

Suma $π$ y $0$ .

$- 2 e^{\cos^{2} (π t - 9)} \cos (π t - 9) \sin (π t - 9) π$

Paso 3.5.7.2

Reordena los factores de $- 2 e^{\cos^{2} (π t - 9)} \cos (π t - 9) \sin (π t - 9) π$ .

$- 2 π e^{\cos^{2} (π t - 9)} \cos (π t - 9) \sin (π t - 9)$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = - 2 π e^{\cos^{2} (π t - 9)} \cos (π t - 9) \sin (π t - 9)$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{d y}{d t} = - 2 π e^{\cos^{2} (π t - 9)} \cos (π t - 9) \sin (π t - 9)$