Cálculo Ejemplos

$y = arccot (\sqrt{t})$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{t}$ como $t^{\frac{1}{2}}$ .

$y = arccot (t^{\frac{1}{2}})$

Paso 2

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (arccot (t^{\frac{1}{2}}))$

Paso 3

La derivada de $y$ con respecto a $t$ es $y'$ .

$y'$

Paso 4

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = arccot (t)$ y $g (t) = t^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 4.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [arccot (u)] \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

Paso 4.1.2

La derivada de $arccot (u)$ con respecto a $u$ es $- \frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$- \frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

Paso 4.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $t^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{1 + {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

Paso 4.2

Multiplica los exponentes en ${(t^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 4.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{1 + t^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

Paso 4.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.2.1

Cancela el factor común.

$- \frac{1}{1 + t^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

Paso 4.2.2.2

Reescribe la expresión.

$- \frac{1}{1 + t^{1}} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

Paso 4.3

Simplifica.

$- \frac{1}{1 + t} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

Paso 4.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{1 + t} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1})$

Paso 4.5

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{1 + t} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Paso 4.6

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{1 + t} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 4.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{1}{1 + t} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 4.8

Simplifica el numerador.

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Paso 4.8.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- \frac{1}{1 + t} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}})$

Paso 4.8.2

Resta $2$ de $1$ .

$- \frac{1}{1 + t} (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}})$

Paso 4.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{1 + t} (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}})$

Paso 4.10

Combina $\frac{1}{2}$ y $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{1 + t} \cdot \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Paso 4.11

Multiplica $\frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$ por $\frac{1}{1 + t}$ .

$- \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2 (1 + t)}$

Paso 4.12

Mueve $t^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 (1 + t) t^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.13

Simplifica.

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Paso 4.13.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{1}{(2 \cdot 1 + 2 t) t^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.13.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{1}{2 \cdot 1 t^{\frac{1}{2}} + 2 t \cdot t^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.13.3

Combina los términos.

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Paso 4.13.3.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}} + 2 t \cdot t^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.13.3.2

Multiplica $t$ por $t^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.13.3.2.1

Mueve $t^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}} + 2 (t^{\frac{1}{2}} t)}$

Paso 4.13.3.2.2

Multiplica $t^{\frac{1}{2}}$ por $t$ .

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Paso 4.13.3.2.2.1

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}} + 2 (t^{\frac{1}{2}} t^{1})}$

Paso 4.13.3.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}} + 2 t^{\frac{1}{2} + 1}}$

Paso 4.13.3.2.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}} + 2 t^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Paso 4.13.3.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}} + 2 t^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Paso 4.13.3.2.5

Suma $1$ y $2$ .

$- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}} + 2 t^{\frac{3}{2}}}$

Paso 4.13.4

Simplifica el denominador.

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Paso 4.13.4.1

Factoriza $2 t^{\frac{1}{2}}$ de $2 t^{\frac{1}{2}} + 2 t^{\frac{3}{2}}$ .

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Paso 4.13.4.1.1

Factoriza $2 t^{\frac{1}{2}}$ de $2 t^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}} (1) + 2 t^{\frac{3}{2}}}$

Paso 4.13.4.1.2

Factoriza $2 t^{\frac{1}{2}}$ de $2 t^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}} (1) + 2 t^{\frac{1}{2}} (t^{\frac{2}{2}})}$

Paso 4.13.4.1.3

Factoriza $2 t^{\frac{1}{2}}$ de $2 t^{\frac{1}{2}} (1) + 2 t^{\frac{1}{2}} (t^{\frac{2}{2}})$ .

$- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}} (1 + t^{\frac{2}{2}})}$

Paso 4.13.4.2

Divide $2$ por $2$ .

$- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}} (1 + t^{1})}$

Paso 4.13.4.3

Simplifica.

$- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}} (1 + t)}$

Paso 5

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}} (1 + t)}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{d y}{d t} = - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}} (1 + t)}$