Cálculo Ejemplos

$y = 5 + 4.9 \cos (\frac{π}{6} t)$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (5 + 4.9 \cos (\frac{π}{6} t))$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $t$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia.

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Paso 3.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $5 + 4.9 \cos (\frac{π}{6} t)$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [5] + \frac{d}{d t} [4.9 \cos (\frac{π}{6} t)]$ .

$\frac{d}{d t} [5] + \frac{d}{d t} [4.9 \cos (\frac{π}{6} t)]$

Paso 3.1.2

Como $5$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $5$ con respecto a $t$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [4.9 \cos (\frac{π}{6} t)]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d t} [4.9 \cos (\frac{π}{6} t)]$ .

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Paso 3.2.1

Combina $\frac{π}{6}$ y $t$ .

$0 + \frac{d}{d t} [4.9 \cos (\frac{π t}{6})]$

Paso 3.2.2

Como $4.9$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $4.9 \cos (\frac{π t}{6})$ con respecto a $t$ es $4.9 \frac{d}{d t} [\cos (\frac{π t}{6})]$ .

$0 + 4.9 \frac{d}{d t} [\cos (\frac{π t}{6})]$

Paso 3.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = \cos (t)$ y $g (t) = \frac{π t}{6}$ .

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Paso 3.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{π t}{6}$ .

$0 + 4.9 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d t} [\frac{π t}{6}])$

Paso 3.2.3.2

La derivada de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $- \sin (u)$ .

$0 + 4.9 (- \sin (u) \frac{d}{d t} [\frac{π t}{6}])$

Paso 3.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{π t}{6}$ .

$0 + 4.9 (- \sin (\frac{π t}{6}) \frac{d}{d t} [\frac{π t}{6}])$

Paso 3.2.4

Como $\frac{π}{6}$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $\frac{π t}{6}$ con respecto a $t$ es $\frac{π}{6} \frac{d}{d t} [t]$ .

$0 + 4.9 (- \sin (\frac{π t}{6}) (\frac{π}{6} \frac{d}{d t} [t]))$

Paso 3.2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 + 4.9 (- \sin (\frac{π t}{6}) (\frac{π}{6} \cdot 1))$

Paso 3.2.6

Multiplica $\frac{π}{6}$ por $1$ .

$0 + 4.9 (- \sin (\frac{π t}{6}) \frac{π}{6})$

Paso 3.2.7

Combina $\frac{π}{6}$ y $\sin (\frac{π t}{6})$ .

$0 + 4.9 (- \frac{π \sin (\frac{π t}{6})}{6})$

Paso 3.2.8

Multiplica $- 1$ por $4.9$ .

$0 - 4.9 \frac{π \sin (\frac{π t}{6})}{6}$

Paso 3.2.9

Combina $- 4.9$ y $\frac{π \sin (\frac{π t}{6})}{6}$ .

$0 + \frac{- 4.9 (π \sin (\frac{π t}{6}))}{6}$

Paso 3.2.10

Multiplica $π$ por $- 4.9$ .

$0 + \frac{- 15.393804 \sin (\frac{π t}{6})}{6}$

Paso 3.2.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$0 - \frac{15.393804 \sin (\frac{π t}{6})}{6}$

Paso 3.3

Resta $\frac{15.393804 \sin (\frac{π t}{6})}{6}$ de $0$ .

$- \frac{15.393804 \sin (\frac{π t}{6})}{6}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = - \frac{15.393804 \sin (\frac{π t}{6})}{6}$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{d y}{d t} = - \frac{15.393804 \sin (\frac{π t}{6})}{6}$