Cálculo Ejemplos

$y = 4 \sin (\sqrt{1 + \sqrt{t}})$

Paso 1

Reescribe el lado derecho con exponentes racionales.

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Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{t}$ como $t^{\frac{1}{2}}$ .

$y = 4 \sin (\sqrt{1 + t^{\frac{1}{2}}})$

Paso 1.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{1 + t^{\frac{1}{2}}}$ como ${(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = 4 \sin ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})$

Paso 2

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (4 \sin ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}))$

Paso 3

La derivada de $y$ con respecto a $t$ es $y'$ .

$y'$

Paso 4

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.1

Como $4$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $4 \sin ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})$ con respecto a $t$ es $4 \frac{d}{d t} [\sin ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})]$ .

$4 \frac{d}{d t} [\sin ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})]$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = \sin (t)$ y $g (t) = {(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 4.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como ${(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ .

$4 (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d t} [{(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}])$

Paso 4.2.2

La derivada de $\sin (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\cos (u_{1})$ .

$4 (\cos (u_{1}) \frac{d}{d t} [{(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}])$

Paso 4.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con ${(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ .

$4 (\cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [{(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}])$

Paso 4.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ y $g (t) = 1 + t^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 4.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $1 + t^{\frac{1}{2}}$ .

$4 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [1 + t^{\frac{1}{2}}])$

Paso 4.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$4 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [1 + t^{\frac{1}{2}}])$

Paso 4.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $1 + t^{\frac{1}{2}}$ .

$4 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [1 + t^{\frac{1}{2}}])$

Paso 4.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$4 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [1 + t^{\frac{1}{2}}])$

Paso 4.5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$4 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [1 + t^{\frac{1}{2}}])$

Paso 4.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$4 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [1 + t^{\frac{1}{2}}])$

Paso 4.7

Simplifica el numerador.

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Paso 4.7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$4 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [1 + t^{\frac{1}{2}}])$

Paso 4.7.2

Resta $2$ de $1$ .

$4 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d t} [1 + t^{\frac{1}{2}}])$

Paso 4.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$4 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [1 + t^{\frac{1}{2}}])$

Paso 4.9

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$4 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{{(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [1 + t^{\frac{1}{2}}])$

Paso 4.10

Mueve ${(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2 {(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [1 + t^{\frac{1}{2}}])$

Paso 4.11

Combina $\frac{1}{2 {(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$ y $4$ .

$\frac{4}{2 {(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [1 + t^{\frac{1}{2}}]$

Paso 4.12

Combina $\frac{4}{2 {(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$ y $\cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{4 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [1 + t^{\frac{1}{2}}]$

Paso 4.13

Factoriza $2$ de $4 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{2 (2 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}))}{2 {(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [1 + t^{\frac{1}{2}}]$

Paso 4.14

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.14.1

Factoriza $2$ de $2 {(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (2 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}))}{2 ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d t} [1 + t^{\frac{1}{2}}]$

Paso 4.14.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (2 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}))}{2 {(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [1 + t^{\frac{1}{2}}]$

Paso 4.14.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [1 + t^{\frac{1}{2}}]$

Paso 4.15

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + t^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{2 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}])$

Paso 4.16

Como $1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $1$ con respecto a $t$ es $0$ .

$\frac{2 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}])$

Paso 4.17

Suma $0$ y $\frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{2 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

Paso 4.18

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{2 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1})$

Paso 4.19

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Paso 4.20

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 4.21

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 4.22

Simplifica el numerador.

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Paso 4.22.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{2 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}})$

Paso 4.22.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{2 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}})$

Paso 4.23

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{2 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}})$

Paso 4.24

Combina $\frac{1}{2}$ y $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Paso 4.25

Multiplica $\frac{2 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}) t^{- \frac{1}{2}}}{{(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

Paso 4.26

Simplifica la expresión.

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Paso 4.26.1

Mueve $2$ a la izquierda de ${(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}) t^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot {(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.26.2

Mueve $t^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.27

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.28

Reescribe la expresión.

$\frac{\cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.29

Reordena los términos.

$\frac{\cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}{t^{\frac{1}{2}} {(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = \frac{\cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}{t^{\frac{1}{2}} {(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{\cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}{t^{\frac{1}{2}} {(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$