Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \infty} \sqrt{x^{2} + x} - x$

Paso 1

Multiplica para racionalizar el numerador.

$lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x^{2} + x} - x) (\sqrt{x^{2} + x} + x)}{\sqrt{x^{2} + x} + x}$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Expande el numerador con el método PEIU (primero, exterior, interior, último).

$lim_{x \to \infty} \frac{{\sqrt{x^{2} + x}}^{2} + \sqrt{x^{2} + x} x + \sqrt{x^{2} + x} (- x) - x^{2}}{\sqrt{x^{2} + x} + x}$

Paso 2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.1

Resta $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x + 0}{\sqrt{x^{2} + x} + x}$

Paso 2.2.2

Suma $x$ y $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + x} + x}$

Paso 3

Factoriza $x$ de $x^{2} + x$ .

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Paso 3.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x \cdot x + x} + x}$

Paso 3.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x \cdot x + x^{1}} + x}$

Paso 3.3

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x \cdot x + x \cdot 1} + x}$

Paso 3.4

Factoriza $x$ de $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x (x + 1)} + x}$

Paso 4

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $x = \sqrt{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\sqrt{\frac{x (x + 1)}{x^{2}}} + \frac{x}{x}}$

Paso 5

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 5.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 5.1.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\sqrt{\frac{x (x + 1)}{x^{2}}} + \frac{x}{x}}$

Paso 5.1.2

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x (x + 1)}{x^{2}}} + \frac{x}{x}}$

Paso 5.2

Cancela el factor común de $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x (x + 1)}{x^{2}}} + 1}$

Paso 6

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x (x + 1)}{x \cdot x}} + 1}$

Paso 6.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x (x + 1)}{x \cdot x}} + 1}$

Paso 6.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x + 1}{x}} + 1}$

Paso 7

Evalúa el límite.

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Paso 7.1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{x + 1}{x}} + 1}$

Paso 7.2

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{1}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{x + 1}{x}} + 1}$

Paso 7.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{1}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{x + 1}{x}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 7.4

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 1}{x}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 8

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $x$ .

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 9

Evalúa el límite.

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Paso 9.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 9.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 9.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 9.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 9.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 9.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{1}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 9.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 9.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 9.5

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 10

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1 + 0}{lim_{x \to \infty} 1}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 11

Evalúa el límite.

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Paso 11.1

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1 + 0}{1}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 11.2

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1 + 0}{1}} + 1}$

Paso 11.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 11.3.1

Divide $1 + 0$ por $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 + 0} + 1}$

Paso 11.3.2

Simplifica el denominador.

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Paso 11.3.2.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{1} + 1}$

Paso 11.3.2.2

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$\frac{1}{1 + 1}$

Paso 11.3.2.3

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1}{2}$

Paso 12

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{1}{2}$

Forma decimal:

$0.5$