Cálculo Ejemplos

$y = \frac{765}{\sqrt[3]{x}}$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{765}{x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 2

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\frac{765}{x^{\frac{1}{3}}})$

Paso 3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1$

Paso 4

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.1

Como $765$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $\frac{765}{x^{\frac{1}{3}}}$ con respecto a $y$ es $765 \frac{d}{d y} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$765 \frac{d}{d y} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$

Paso 4.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ es $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ donde $f (y) = 1$ y $g (y) = x^{\frac{1}{3}}$ .

$765 \frac{x^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d y} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{3}}]}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Paso 4.3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 4.3.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$765 \frac{x^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d y} [1] - \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{3}}]}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Paso 4.3.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

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Paso 4.3.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$765 \frac{x^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d y} [1] - \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{3}}]}{x^{\frac{1}{3} \cdot 2}}$

Paso 4.3.2.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $2$ .

$765 \frac{x^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d y} [1] - \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{3}}]}{x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 4.3.3

Como $1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$765 \frac{x^{\frac{1}{3}} \cdot 0 - \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{3}}]}{x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 4.3.4

Simplifica la expresión.

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Paso 4.3.4.1

Multiplica $x^{\frac{1}{3}}$ por $0$ .

$765 \frac{0 - \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{3}}]}{x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 4.3.4.2

Resta $\frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{3}}]$ de $0$ .

$765 \frac{- \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{3}}]}{x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 4.3.4.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$765 (- \frac{\frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{3}}]}{x^{\frac{2}{3}}})$

Paso 4.3.4.4

Multiplica $- 1$ por $765$ .

$- 765 \frac{\frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{3}}]}{x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 4.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = y^{\frac{1}{3}}$ y $g (y) = x$ .

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Paso 4.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x$ .

$- 765 \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d y} [x]}{x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 4.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{3}$ .

$- 765 \frac{\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d y} [x]}{x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 4.4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x$ .

$- 765 \frac{\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d y} [x]}{x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 4.5

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$- 765 \frac{\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d y} [x]}{x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 4.6

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$- 765 \frac{\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d y} [x]}{x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 4.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- 765 \frac{\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d y} [x]}{x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 4.8

Simplifica el numerador.

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Paso 4.8.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$- 765 \frac{\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d y} [x]}{x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 4.8.2

Resta $3$ de $1$ .

$- 765 \frac{\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d y} [x]}{x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 4.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- 765 \frac{\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d y} [x]}{x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 4.10

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$- 765 \frac{\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d y} [x]}{x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 4.11

Mueve $x^{- \frac{2}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 765 \frac{\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d y} [x]}{x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 4.12

Reescribe $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$- 765 \frac{\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} x'}{x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 4.13

Combina $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ y $x'$ .

$- 765 \frac{\frac{x'}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 4.14

Reescribe $\frac{\frac{x'}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{x^{\frac{2}{3}}}$ como un producto.

$- 765 (\frac{x'}{3 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}})$

Paso 4.15

Multiplica $\frac{x'}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ por $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$- 765 \frac{x'}{3 x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 4.16

Multiplica $x^{\frac{2}{3}}$ por $x^{\frac{2}{3}}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.16.1

Mueve $x^{\frac{2}{3}}$ .

$- 765 \frac{x'}{3 (x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}})}$

Paso 4.16.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 765 \frac{x'}{3 x^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}}}$

Paso 4.16.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- 765 \frac{x'}{3 x^{\frac{2 + 2}{3}}}$

Paso 4.16.4

Suma $2$ y $2$ .

$- 765 \frac{x'}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Paso 4.17

Combina $- 765$ y $\frac{x'}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ .

$\frac{- 765 x'}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Paso 4.18

Factoriza $3$ de $- 765 x'$ .

$\frac{3 (- 255 x')}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Paso 4.19

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.19.1

Factoriza $3$ de $3 x^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{3 (- 255 x')}{3 (x^{\frac{4}{3}})}$

Paso 4.19.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 (- 255 x')}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Paso 4.19.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 255 x'}{x^{\frac{4}{3}}}$

Paso 4.20

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{255 x'}{x^{\frac{4}{3}}}$

Paso 5

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$1 = - \frac{255 x'}{x^{\frac{4}{3}}}$

Paso 6

Resuelve $x'$

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Paso 6.1

Reescribe la ecuación como $- \frac{255 x'}{x^{\frac{4}{3}}} = 1$ .

$- \frac{255 x'}{x^{\frac{4}{3}}} = 1$

Paso 6.2

Divide cada término en $- \frac{255 x'}{x^{\frac{4}{3}}} = 1$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 6.2.1

Divide cada término en $- \frac{255 x'}{x^{\frac{4}{3}}} = 1$ por $- 1$ .

$\frac{- \frac{255 x'}{x^{\frac{4}{3}}}}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Paso 6.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\frac{255 x'}{x^{\frac{4}{3}}}}{1} = \frac{1}{- 1}$

Paso 6.2.2.2

Divide $\frac{255 x'}{x^{\frac{4}{3}}}$ por $1$ .

$\frac{255 x'}{x^{\frac{4}{3}}} = \frac{1}{- 1}$

Paso 6.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.3.1

Divide $1$ por $- 1$ .

$\frac{255 x'}{x^{\frac{4}{3}}} = - 1$

Paso 6.3

Multiplica ambos lados por $x^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{255 x'}{x^{\frac{4}{3}}} x^{\frac{4}{3}} = - x^{\frac{4}{3}}$

Paso 6.4

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.4.1

Cancela el factor común de $x^{\frac{4}{3}}$ .

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Paso 6.4.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{255 x'}{x^{\frac{4}{3}}} x^{\frac{4}{3}} = - x^{\frac{4}{3}}$

Paso 6.4.1.2

Reescribe la expresión.

$255 x' = - x^{\frac{4}{3}}$

Paso 6.5

Divide cada término en $255 x' = - x^{\frac{4}{3}}$ por $255$ y simplifica.

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Paso 6.5.1

Divide cada término en $255 x' = - x^{\frac{4}{3}}$ por $255$ .

$\frac{255 x'}{255} = \frac{- x^{\frac{4}{3}}}{255}$

Paso 6.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.5.2.1

Cancela el factor común de $255$ .

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Paso 6.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{255 x'}{255} = \frac{- x^{\frac{4}{3}}}{255}$

Paso 6.5.2.1.2

Divide $x'$ por $1$ .

$x' = \frac{- x^{\frac{4}{3}}}{255}$

Paso 6.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.5.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x' = - \frac{x^{\frac{4}{3}}}{255}$

Paso 7

Reemplaza $x'$ con $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{x^{\frac{4}{3}}}{255}$