Cálculo Ejemplos

$y = \frac{2 x^{2} - 5 x}{3}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{2 x^{2} - 5 x}{3})$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 3.1.1

Factoriza $x$ de $2 x^{2} - 5 x$ .

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Paso 3.1.1.1

Factoriza $x$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x (2 x) - 5 x}{3}]$

Paso 3.1.1.2

Factoriza $x$ de $- 5 x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x (2 x) + x \cdot - 5}{3}]$

Paso 3.1.1.3

Factoriza $x$ de $x (2 x) + x \cdot - 5$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x (2 x - 5)}{3}]$

Paso 3.1.2

Como $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x (2 x - 5)}{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x (2 x - 5)]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x (2 x - 5)]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = 2 x - 5$ .

$\frac{1}{3} (x \frac{d}{d x} [2 x - 5] + (2 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.3

Diferencia.

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Paso 3.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x - 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{1}{3} (x (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (2 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.3.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} (x (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (2 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{3} (x (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]) + (2 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.3.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{1}{3} (x (2 + \frac{d}{d x} [- 5]) + (2 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.3.5

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{3} (x (2 + 0) + (2 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.3.6

Simplifica la expresión.

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Paso 3.3.6.1

Suma $2$ y $0$ .

$\frac{1}{3} (x \cdot 2 + (2 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.3.6.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{1}{3} (2 \cdot x + (2 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{3} (2 x + (2 x - 5) \cdot 1)$

Paso 3.3.8

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 3.3.8.1

Multiplica $2 x - 5$ por $1$ .

$\frac{1}{3} (2 x + 2 x - 5)$

Paso 3.3.8.2

Suma $2 x$ y $2 x$ .

$\frac{1}{3} (4 x - 5)$

Paso 3.4

Simplifica.

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Paso 3.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{3} (4 x) + \frac{1}{3} \cdot - 5$

Paso 3.4.2

Combina los términos.

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Paso 3.4.2.1

Combina $4$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{4}{3} x + \frac{1}{3} \cdot - 5$

Paso 3.4.2.2

Combina $\frac{4}{3}$ y $x$ .

$\frac{4 x}{3} + \frac{1}{3} \cdot - 5$

Paso 3.4.2.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $- 5$ .

$\frac{4 x}{3} + \frac{- 5}{3}$

Paso 3.4.2.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{4 x}{3} - \frac{5}{3}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = \frac{4 x}{3} - \frac{5}{3}$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x}{3} - \frac{5}{3}$