Cálculo Ejemplos

$y = \frac{3 x - 4}{x^{3}}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{3 x - 4}{x^{3}})$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 3 x - 4$ y $g (x) = x^{3}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [3 x - 4] - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

Paso 3.2

Diferencia.

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Paso 3.2.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{3})}^{2}$ .

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Paso 3.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [3 x - 4] - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

Paso 3.2.1.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [3 x - 4] - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Paso 3.2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{x^{3} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Paso 3.2.3

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{3} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Paso 3.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x^{3} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Paso 3.2.5

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{x^{3} (3 + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Paso 3.2.6

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x^{3} (3 + 0) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Paso 3.2.7

Simplifica la expresión.

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Paso 3.2.7.1

Suma $3$ y $0$ .

$\frac{x^{3} \cdot 3 - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Paso 3.2.7.2

Mueve $3$ a la izquierda de $x^{3}$ .

$\frac{3 \cdot x^{3} - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Paso 3.2.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{3 x^{3} - (3 x - 4) (3 x^{2})}{x^{6}}$

Paso 3.2.9

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{3 x^{3} - 3 (3 x - 4) x^{2}}{x^{6}}$

Paso 3.3

Simplifica.

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Paso 3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 x^{3} + (- 3 (3 x) - 3 \cdot - 4) x^{2}}{x^{6}}$

Paso 3.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 x^{3} - 3 (3 x) x^{2} - 3 \cdot - 4 x^{2}}{x^{6}}$

Paso 3.3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.3.1.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.3.1.1.1

Mueve $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{3} - 3 (3 (x^{2} x)) - 3 \cdot - 4 x^{2}}{x^{6}}$

Paso 3.3.3.1.1.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 3.3.3.1.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3 x^{3} - 3 (3 (x^{2} x^{1})) - 3 \cdot - 4 x^{2}}{x^{6}}$

Paso 3.3.3.1.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{3 x^{3} - 3 (3 x^{2 + 1}) - 3 \cdot - 4 x^{2}}{x^{6}}$

Paso 3.3.3.1.1.3

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{3 x^{3} - 3 (3 x^{3}) - 3 \cdot - 4 x^{2}}{x^{6}}$

Paso 3.3.3.1.2

Multiplica $3$ por $- 3$ .

$\frac{3 x^{3} - 9 x^{3} - 3 \cdot - 4 x^{2}}{x^{6}}$

Paso 3.3.3.1.3

Multiplica $- 3$ por $- 4$ .

$\frac{3 x^{3} - 9 x^{3} + 12 x^{2}}{x^{6}}$

Paso 3.3.3.2

Resta $9 x^{3}$ de $3 x^{3}$ .

$\frac{- 6 x^{3} + 12 x^{2}}{x^{6}}$

Paso 3.3.4

Factoriza $6 x^{2}$ de $- 6 x^{3} + 12 x^{2}$ .

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Paso 3.3.4.1

Factoriza $6 x^{2}$ de $- 6 x^{3}$ .

$\frac{6 x^{2} (- x) + 12 x^{2}}{x^{6}}$

Paso 3.3.4.2

Factoriza $6 x^{2}$ de $12 x^{2}$ .

$\frac{6 x^{2} (- x) + 6 x^{2} (2)}{x^{6}}$

Paso 3.3.4.3

Factoriza $6 x^{2}$ de $6 x^{2} (- x) + 6 x^{2} (2)$ .

$\frac{6 x^{2} (- x + 2)}{x^{6}}$

Paso 3.3.5

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x^{6}$ .

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Paso 3.3.5.1

Factoriza $x^{2}$ de $6 x^{2} (- x + 2)$ .

$\frac{x^{2} (6 (- x + 2))}{x^{6}}$

Paso 3.3.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.3.5.2.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{6}$ .

$\frac{x^{2} (6 (- x + 2))}{x^{2} x^{4}}$

Paso 3.3.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2} (6 (- x + 2))}{x^{2} x^{4}}$

Paso 3.3.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{6 (- x + 2)}{x^{4}}$

Paso 3.3.6

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{6 (- (x) + 2)}{x^{4}}$

Paso 3.3.7

Reescribe $2$ como $- 1 (- 2)$ .

$\frac{6 (- (x) - 1 (- 2))}{x^{4}}$

Paso 3.3.8

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (- 2)$ .

$\frac{6 (- (x - 2))}{x^{4}}$

Paso 3.3.9

Reescribe $- (x - 2)$ como $- 1 (x - 2)$ .

$\frac{6 (- 1 (x - 2))}{x^{4}}$

Paso 3.3.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{6 (x - 2)}{x^{4}}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = - \frac{6 (x - 2)}{x^{4}}$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6 (x - 2)}{x^{4}}$