Cálculo Ejemplos

$y = \frac{2 \cos (x)}{1 + \sin (x)}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{2 \cos (x)}{1 + \sin (x)})$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{2 \cos (x)}{1 + \sin (x)}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = 1 + \sin (x)$ .

$2 \frac{(1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Paso 3.3

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$2 \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Paso 3.4

Diferencia.

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Paso 3.4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + \sin (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$2 \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Paso 3.4.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) (0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Paso 3.4.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$2 \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Paso 3.5

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$2 \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Paso 3.6

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$2 \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - (\cos^{1} (x) \cos (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Paso 3.7

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$2 \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Paso 3.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - {\cos (x)}^{1 + 1}}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Paso 3.9

Suma $1$ y $1$ .

$2 \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Paso 3.10

Combina $2$ y $\frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$ .

$\frac{2 ((1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Paso 3.11

Simplifica.

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Paso 3.11.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 (1 (- \sin (x)) + \sin (x) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Paso 3.11.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 (1 (- \sin (x))) + 2 (\sin (x) (- \sin (x))) + 2 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Paso 3.11.3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.11.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.11.3.1.1

Multiplica $- \sin (x)$ por $1$ .

$\frac{2 (- \sin (x)) + 2 (\sin (x) (- \sin (x))) + 2 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Paso 3.11.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{- 2 \sin (x) + 2 (\sin (x) (- \sin (x))) + 2 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Paso 3.11.3.1.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{- 2 \sin (x) + 2 (- \sin (x) \sin (x)) + 2 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Paso 3.11.3.1.4

Multiplica $- \sin (x) \sin (x)$ .

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Paso 3.11.3.1.4.1

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- 2 \sin (x) + 2 (- (\sin^{1} (x) \sin (x))) + 2 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Paso 3.11.3.1.4.2

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- 2 \sin (x) + 2 (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))) + 2 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Paso 3.11.3.1.4.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- 2 \sin (x) + 2 (- {\sin (x)}^{1 + 1}) + 2 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Paso 3.11.3.1.4.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{- 2 \sin (x) + 2 (- \sin^{2} (x)) + 2 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Paso 3.11.3.1.5

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{- 2 \sin (x) - 2 \sin^{2} (x) + 2 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Paso 3.11.3.1.6

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{- 2 \sin (x) - 2 \sin^{2} (x) - 2 \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Paso 3.11.3.2

Factoriza $- 2$ de $- 2 \sin^{2} (x)$ .

$\frac{- 2 \sin (x) - 2 (\sin^{2} (x)) - 2 \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Paso 3.11.3.3

Factoriza $- 2$ de $- 2 \cos^{2} (x)$ .

$\frac{- 2 \sin (x) - 2 (\sin^{2} (x)) - 2 (\cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Paso 3.11.3.4

Factoriza $- 2$ de $- 2 (\sin^{2} (x)) - 2 (\cos^{2} (x))$ .

$\frac{- 2 \sin (x) - 2 (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Paso 3.11.3.5

Aplica la identidad pitagórica.

$\frac{- 2 \sin (x) - 2 \cdot 1}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Paso 3.11.3.6

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\frac{- 2 \sin (x) - 2}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Paso 3.11.4

Reordena los términos.

$\frac{- 2 - 2 \sin (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Paso 3.11.5

Factoriza $- 2$ de $- 2 - 2 \sin (x)$ .

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Paso 3.11.5.1

Factoriza $- 2$ de $- 2$ .

$\frac{- 2 (1) - 2 \sin (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Paso 3.11.5.2

Factoriza $- 2$ de $- 2 \sin (x)$ .

$\frac{- 2 (1) - 2 (\sin (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Paso 3.11.5.3

Factoriza $- 2$ de $- 2 (1) - 2 (\sin (x))$ .

$\frac{- 2 (1 + \sin (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Paso 3.11.6

Cancela el factor común de $1 + \sin (x)$ y ${(1 + \sin (x))}^{2}$ .

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Paso 3.11.6.1

Factoriza $1 + \sin (x)$ de $- 2 (1 + \sin (x))$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) \cdot - 2}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Paso 3.11.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.11.6.2.1

Factoriza $1 + \sin (x)$ de ${(1 + \sin (x))}^{2}$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) \cdot - 2}{(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))}$

Paso 3.11.6.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{(1 + \sin (x)) \cdot - 2}{(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))}$

Paso 3.11.6.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 2}{1 + \sin (x)}$

Paso 3.11.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2}{1 + \sin (x)}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = - \frac{2}{1 + \sin (x)}$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2}{1 + \sin (x)}$