Cálculo Ejemplos

$y = \frac{3 - \cos (x)}{6 + \cos (x)}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{3 - \cos (x)}{6 + \cos (x)})$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 3 - \cos (x)$ y $g (x) = 6 + \cos (x)$ .

$\frac{(6 + \cos (x)) \frac{d}{d x} [3 - \cos (x)] - (3 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [6 + \cos (x)]}{{(6 + \cos (x))}^{2}}$

Paso 3.2

Diferencia.

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Paso 3.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 - \cos (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{(6 + \cos (x)) (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]) - (3 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [6 + \cos (x)]}{{(6 + \cos (x))}^{2}}$

Paso 3.2.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(6 + \cos (x)) (0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]) - (3 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [6 + \cos (x)]}{{(6 + \cos (x))}^{2}}$

Paso 3.2.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{(6 + \cos (x)) \frac{d}{d x} [- \cos (x)] - (3 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [6 + \cos (x)]}{{(6 + \cos (x))}^{2}}$

Paso 3.2.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{(6 + \cos (x)) (- \frac{d}{d x} [\cos (x)]) - (3 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [6 + \cos (x)]}{{(6 + \cos (x))}^{2}}$

Paso 3.3

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$\frac{(6 + \cos (x)) (- - \sin (x)) - (3 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [6 + \cos (x)]}{{(6 + \cos (x))}^{2}}$

Paso 3.4

Diferencia.

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Paso 3.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{(6 + \cos (x)) (1 \sin (x)) - (3 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [6 + \cos (x)]}{{(6 + \cos (x))}^{2}}$

Paso 3.4.2

Multiplica $\sin (x)$ por $1$ .

$\frac{(6 + \cos (x)) \sin (x) - (3 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [6 + \cos (x)]}{{(6 + \cos (x))}^{2}}$

Paso 3.4.3

Según la regla de la suma, la derivada de $6 + \cos (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{(6 + \cos (x)) \sin (x) - (3 - \cos (x)) (\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(6 + \cos (x))}^{2}}$

Paso 3.4.4

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(6 + \cos (x)) \sin (x) - (3 - \cos (x)) (0 + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(6 + \cos (x))}^{2}}$

Paso 3.4.5

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{(6 + \cos (x)) \sin (x) - (3 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{{(6 + \cos (x))}^{2}}$

Paso 3.5

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$\frac{(6 + \cos (x)) \sin (x) - (3 - \cos (x)) (- \sin (x))}{{(6 + \cos (x))}^{2}}$

Paso 3.6

Multiplica.

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Paso 3.6.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{(6 + \cos (x)) \sin (x) + 1 (3 - \cos (x)) \sin (x)}{{(6 + \cos (x))}^{2}}$

Paso 3.6.2

Multiplica $3 - \cos (x)$ por $1$ .

$\frac{(6 + \cos (x)) \sin (x) + (3 - \cos (x)) \sin (x)}{{(6 + \cos (x))}^{2}}$

Paso 3.7

Simplifica.

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Paso 3.7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{6 \sin (x) + \cos (x) \sin (x) + (3 - \cos (x)) \sin (x)}{{(6 + \cos (x))}^{2}}$

Paso 3.7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{6 \sin (x) + \cos (x) \sin (x) + 3 \sin (x) - \cos (x) \sin (x)}{{(6 + \cos (x))}^{2}}$

Paso 3.7.3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.7.3.1

Combina los términos opuestos en $6 \sin (x) + \cos (x) \sin (x) + 3 \sin (x) - \cos (x) \sin (x)$ .

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Paso 3.7.3.1.1

Resta $\cos (x) \sin (x)$ de $\cos (x) \sin (x)$ .

$\frac{6 \sin (x) + 0 + 3 \sin (x)}{{(6 + \cos (x))}^{2}}$

Paso 3.7.3.1.2

Suma $6 \sin (x)$ y $0$ .

$\frac{6 \sin (x) + 3 \sin (x)}{{(6 + \cos (x))}^{2}}$

Paso 3.7.3.2

Suma $6 \sin (x)$ y $3 \sin (x)$ .

$\frac{9 \sin (x)}{{(6 + \cos (x))}^{2}}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = \frac{9 \sin (x)}{{(6 + \cos (x))}^{2}}$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{9 \sin (x)}{{(6 + \cos (x))}^{2}}$