Cálculo Ejemplos

$\int_{- 1}^{1} 3^{2 x - 1} d x$

Paso 1

Sea $u = 2 x - 1$ . Entonces $d u = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = 2 x - 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $2 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.1.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 + 0$

Paso 1.1.4.2

Suma $2$ y $0$ .

$2$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = 2 x - 1$ .

$u_{lower} = 2 \cdot - 1 - 1$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$u_{lower} = - 2 - 1$

Paso 1.3.2

Resta $1$ de $- 2$ .

$u_{lower} = - 3$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = 2 x - 1$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 1 - 1$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$u_{upper} = 2 - 1$

Paso 1.5.2

Resta $1$ de $2$ .

$u_{upper} = 1$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = - 3$

$u_{upper} = 1$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{- 3}^{1} 3^{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Paso 2

Combina $3^{u}$ y $\frac{1}{2}$ .

$\int_{- 3}^{1} \frac{3^{u}}{2} d u$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int_{- 3}^{1} 3^{u} d u$

Paso 4

La integral de $3^{u}$ con respecto a $u$ es $\frac{3^{u}}{\ln (3)}$ .

$\frac{1}{2} \frac{3^{u}}{\ln (3)}]_{- 3}^{1}$

Paso 5

Combina $\frac{1}{2}$ y $\frac{3^{u}}{\ln (3)}]_{- 3}^{1}$ .

$\frac{\frac{3^{u}}{\ln (3)}]_{- 3}^{1}}{2}$

Paso 6

Sustituye y simplifica.

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Paso 6.1

Evalúa $\frac{3^{u}}{\ln (3)}$ en $1$ y en $- 3$ .

$\frac{(\frac{3^{1}}{\ln (3)}) - \frac{3^{- 3}}{\ln (3)}}{2}$

Paso 6.2

Simplifica.

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Paso 6.2.1

Evalúa el exponente.

$\frac{\frac{3}{\ln (3)} - \frac{3^{- 3}}{\ln (3)}}{2}$

Paso 6.2.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{3}{\ln (3)} - \frac{\frac{1}{3^{3}}}{\ln (3)}}{2}$

Paso 6.2.3

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$\frac{\frac{3}{\ln (3)} - \frac{\frac{1}{27}}{\ln (3)}}{2}$

Paso 6.2.4

Reescribe $\frac{\frac{1}{27}}{\ln (3)}$ como un producto.

$\frac{\frac{3}{\ln (3)} - (\frac{1}{27} \cdot \frac{1}{\ln (3)})}{2}$

Paso 6.2.5

Multiplica $\frac{1}{27}$ por $\frac{1}{\ln (3)}$ .

$\frac{\frac{3}{\ln (3)} - \frac{1}{27 \ln (3)}}{2}$

Paso 6.2.6

Multiplica $\frac{\frac{3}{\ln (3)} - \frac{1}{27 \ln (3)}}{2}$ por $\frac{\ln (3)}{\ln (3)}$ .

$\frac{\ln (3)}{\ln (3)} \cdot \frac{\frac{3}{\ln (3)} - \frac{1}{27 \ln (3)}}{2}$

Paso 6.2.7

Combinar.

$\frac{\ln (3) (\frac{3}{\ln (3)} - \frac{1}{27 \ln (3)})}{\ln (3) \cdot 2}$

Paso 6.2.8

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\ln (3) \frac{3}{\ln (3)} + \ln (3) (- \frac{1}{27 \ln (3)})}{\ln (3) \cdot 2}$

Paso 6.2.9

Cancela el factor común de $\ln (3)$ .

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Paso 6.2.9.1

Cancela el factor común.

$\frac{\ln (3) \frac{3}{\ln (3)} + \ln (3) (- \frac{1}{27 \ln (3)})}{\ln (3) \cdot 2}$

Paso 6.2.9.2

Reescribe la expresión.

$\frac{3 + \ln (3) (- \frac{1}{27 \ln (3)})}{\ln (3) \cdot 2}$

Paso 6.2.10

Combina $\ln (3)$ y $\frac{1}{27 \ln (3)}$ .

$\frac{3 - \frac{\ln (3)}{27 \ln (3)}}{\ln (3) \cdot 2}$

Paso 6.2.11

Cancela el factor común de $\ln (3)$ .

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Paso 6.2.11.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 - \frac{\ln (3)}{27 \ln (3)}}{\ln (3) \cdot 2}$

Paso 6.2.11.2

Reescribe la expresión.

$\frac{3 - \frac{1}{27}}{\ln (3) \cdot 2}$

Paso 6.2.12

Para escribir $3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{27}{27}$ .

$\frac{3 \cdot \frac{27}{27} - \frac{1}{27}}{\ln (3) \cdot 2}$

Paso 6.2.13

Combina $3$ y $\frac{27}{27}$ .

$\frac{\frac{3 \cdot 27}{27} - \frac{1}{27}}{\ln (3) \cdot 2}$

Paso 6.2.14

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{3 \cdot 27 - 1}{27}}{\ln (3) \cdot 2}$

Paso 6.2.15

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.15.1

Multiplica $3$ por $27$ .

$\frac{\frac{81 - 1}{27}}{\ln (3) \cdot 2}$

Paso 6.2.15.2

Resta $1$ de $81$ .

$\frac{\frac{80}{27}}{\ln (3) \cdot 2}$

Paso 6.2.16

Mueve $2$ a la izquierda de $\ln (3)$ .

$\frac{\frac{80}{27}}{2 \cdot \ln (3)}$

Paso 6.2.17

Reescribe $\frac{\frac{80}{27}}{2 \ln (3)}$ como un producto.

$\frac{80}{27} \cdot \frac{1}{2 \ln (3)}$

Paso 6.2.18

Multiplica $\frac{80}{27}$ por $\frac{1}{2 \ln (3)}$ .

$\frac{80}{27 (2 \ln (3))}$

Paso 6.2.19

Multiplica $2$ por $27$ .

$\frac{80}{54 \ln (3)}$

Paso 6.2.20

Cancela el factor común de $80$ y $54$ .

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Paso 6.2.20.1

Factoriza $2$ de $80$ .

$\frac{2 (40)}{54 \ln (3)}$

Paso 6.2.20.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.20.2.1

Factoriza $2$ de $54 \ln (3)$ .

$\frac{2 (40)}{2 (27 \ln (3))}$

Paso 6.2.20.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 40}{2 (27 \ln (3))}$

Paso 6.2.20.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{40}{27 \ln (3)}$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{40}{27 \ln (3)}$

Forma decimal:

$1.34850255 \dots$

Paso 8