Cálculo Ejemplos

$y = e^{x} \sin^{5} (x)$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (e^{x} \sin^{5} (x))$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = \sin^{5} (x)$ .

$e^{x} \frac{d}{d x} [\sin^{5} (x)] + \sin^{5} (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{5}$ y $g (x) = \sin (x)$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\sin (x)$ .

$e^{x} (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \sin^{5} (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$e^{x} (5 u^{4} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \sin^{5} (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\sin (x)$ .

$e^{x} (5 \sin^{4} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \sin^{5} (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 3.3

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$e^{x} (5 \sin^{4} (x) \cos (x)) + \sin^{5} (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 3.4

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{x} (5 \sin^{4} (x) \cos (x)) + \sin^{5} (x) e^{x}$

Paso 3.5

Reordena los términos.

$5 e^{x} \sin^{4} (x) \cos (x) + e^{x} \sin^{5} (x)$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = 5 e^{x} \sin^{4} (x) \cos (x) + e^{x} \sin^{5} (x)$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 5 e^{x} \sin^{4} (x) \cos (x) + e^{x} \sin^{5} (x)$