Cálculo Ejemplos

$y = \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)})$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = 1 + \sin (x)$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Paso 3.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Paso 3.3

Diferencia.

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Paso 3.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + \sin (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Paso 3.3.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) (0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Paso 3.3.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Paso 3.4

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Paso 3.5

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - (\cos^{1} (x) \cos (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Paso 3.6

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Paso 3.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - {\cos (x)}^{1 + 1}}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Paso 3.8

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Paso 3.9

Simplifica.

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Paso 3.9.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 (- \sin (x)) + \sin (x) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Paso 3.9.2

Simplifica el numerador.

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Paso 3.9.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.9.2.1.1

Multiplica $- \sin (x)$ por $1$ .

$\frac{- \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Paso 3.9.2.1.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{- \sin (x) - \sin (x) \sin (x) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Paso 3.9.2.1.3

Multiplica $- \sin (x) \sin (x)$ .

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Paso 3.9.2.1.3.1

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- \sin (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Paso 3.9.2.1.3.2

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- \sin (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Paso 3.9.2.1.3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- \sin (x) - {\sin (x)}^{1 + 1} - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Paso 3.9.2.1.3.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{- \sin (x) - \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Paso 3.9.2.2

Factoriza $- 1$ de $- \sin^{2} (x)$ .

$\frac{- \sin (x) - (\sin^{2} (x)) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Paso 3.9.2.3

Factoriza $- 1$ de $- \cos^{2} (x)$ .

$\frac{- \sin (x) - (\sin^{2} (x)) - (\cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Paso 3.9.2.4

Factoriza $- 1$ de $- (\sin^{2} (x)) - (\cos^{2} (x))$ .

$\frac{- \sin (x) - (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Paso 3.9.2.5

Aplica la identidad pitagórica.

$\frac{- \sin (x) - 1 \cdot 1}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Paso 3.9.2.6

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{- \sin (x) - 1}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Paso 3.9.3

Combina los términos.

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Paso 3.9.3.1

Cancela el factor común de $- \sin (x) - 1$ y ${(1 + \sin (x))}^{2}$ .

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Paso 3.9.3.1.1

Factoriza $- 1$ de $- \sin (x)$ .

$\frac{- (\sin (x)) - 1}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Paso 3.9.3.1.2

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{- (\sin (x)) - 1 (1)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Paso 3.9.3.1.3

Factoriza $- 1$ de $- (\sin (x)) - 1 (1)$ .

$\frac{- (\sin (x) + 1)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Paso 3.9.3.1.4

Reescribe $- (\sin (x) + 1)$ como $- 1 (\sin (x) + 1)$ .

$\frac{- 1 (\sin (x) + 1)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Paso 3.9.3.1.5

Reordena los términos.

$\frac{- 1 (1 + \sin (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Paso 3.9.3.1.6

Factoriza $1 + \sin (x)$ de $- 1 (1 + \sin (x))$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) \cdot - 1}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Paso 3.9.3.1.7

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.9.3.1.7.1

Factoriza $1 + \sin (x)$ de ${(1 + \sin (x))}^{2}$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) \cdot - 1}{(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))}$

Paso 3.9.3.1.7.2

Cancela el factor común.

$\frac{(1 + \sin (x)) \cdot - 1}{(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))}$

Paso 3.9.3.1.7.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{1 + \sin (x)}$

Paso 3.9.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{1 + \sin (x)}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = - \frac{1}{1 + \sin (x)}$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{1 + \sin (x)}$