Cálculo Ejemplos

$y = \frac{5}{\cos (x)} + \frac{1}{\tan (x)}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{5}{\cos (x)} + \frac{1}{\tan (x)})$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{5}{\cos (x)} + \frac{1}{\tan (x)}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{5}{\cos (x)}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5}{\cos (x)}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{5}{\cos (x)}]$ .

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Paso 3.2.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{5}{\cos (x)}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]$

Paso 3.2.2

Reescribe $\frac{1}{\cos (x)}$ como $\cos^{- 1} (x)$ .

$5 \frac{d}{d x} [\cos^{- 1} (x)] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]$

Paso 3.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = \cos (x)$ .

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Paso 3.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\cos (x)$ .

$5 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]$

Paso 3.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$5 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]$

Paso 3.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\cos (x)$ .

$5 (- \cos^{- 2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]$

Paso 3.2.4

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$5 (- \cos^{- 2} (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]$

Paso 3.2.5

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$5 (1 \cos^{- 2} (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]$

Paso 3.2.6

Multiplica $\cos^{- 2} (x)$ por $1$ .

$5 \cos^{- 2} (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]$ .

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Paso 3.3.1

Reescribe $\tan (x)$ en términos de senos y cosenos.

$5 \cos^{- 2} (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}]$

Paso 3.3.2

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$5 \cos^{- 2} (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{\sin (x)}]$

Paso 3.3.3

Convierte de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ a $\cot (x)$ .

$5 \cos^{- 2} (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} [\cot (x)]$

Paso 3.3.4

La derivada de $\cot (x)$ con respecto a $x$ es $- \csc^{2} (x)$ .

$5 \cos^{- 2} (x) \sin (x) - \csc^{2} (x)$

Paso 3.4

Simplifica.

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Paso 3.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 \frac{1}{\cos^{2} (x)} \sin (x) - \csc^{2} (x)$

Paso 3.4.2

Convierte de $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ a $\sec^{2} (x)$ .

$5 \sec^{2} (x) \sin (x) - \csc^{2} (x)$

Paso 3.4.3

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.3.1

Reescribe $\sec (x)$ en términos de senos y cosenos.

$5 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \sin (x) - \csc^{2} (x)$

Paso 3.4.3.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$5 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \sin (x) - \csc^{2} (x)$

Paso 3.4.3.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$5 \frac{1}{\cos^{2} (x)} \sin (x) - \csc^{2} (x)$

Paso 3.4.3.4

Combina $5$ y $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{5}{\cos^{2} (x)} \sin (x) - \csc^{2} (x)$

Paso 3.4.3.5

Combina $\frac{5}{\cos^{2} (x)}$ y $\sin (x)$ .

$\frac{5 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} - \csc^{2} (x)$

Paso 3.4.3.6

Reescribe $\csc (x)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{5 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} - {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$

Paso 3.4.3.7

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{5 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$

Paso 3.4.3.8

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{5 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Paso 3.4.4

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.4.1

Factoriza $\cos (x)$ de $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{5 \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} - \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Paso 3.4.4.2

Separa las fracciones.

$\frac{5}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Paso 3.4.4.3

Convierte de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$\frac{5}{\cos (x)} \tan (x) - \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Paso 3.4.4.4

Separa las fracciones.

$\frac{5}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} \tan (x) - \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Paso 3.4.4.5

Convierte de $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$\frac{5}{1} \sec (x) \tan (x) - \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Paso 3.4.4.6

Divide $5$ por $1$ .

$5 \sec (x) \tan (x) - \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Paso 3.4.4.7

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$5 \sec (x) \tan (x) - \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$

Paso 3.4.4.8

Reescribe $\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$ como ${(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$ .

$5 \sec (x) \tan (x) - {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$

Paso 3.4.4.9

Convierte de $\frac{1}{\sin (x)}$ a $\csc (x)$ .

$5 \sec (x) \tan (x) - \csc^{2} (x)$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = 5 \sec (x) \tan (x) - \csc^{2} (x)$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 5 \sec (x) \tan (x) - \csc^{2} (x)$